出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
| この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方) 出典検索?: "円錐台" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2016年5月) |
円錐台(えんすいだい、英: circular truncated cone)は、円を底面とした錐台である。つまり、円錐を底面に平行な平面で切り、小円錐の部分を除いた立体図形である。
プリンの形は一般的には円錐台である。受験数学、特に日本の中学入試でよく出題される図形である。
体積
初等的な導出
錐体の体積公式を知っているが積分計算は知らない場合(日本の多くの小中学生はそうである)、体積を求めるには、円錐から小円錐を取り除いたと考えればよい。円錐台の上底の半径を r1, 下底の半径を r2, 高さを h とすると、もとの大きな円錐の高さ H は
を満たす。これを H について解くと、
となる。円錐台の体積 V は
であるから、先ほどの H を代入して整理すると、
となる。これは、上底の面積を S1, 下底の面積を S2 とすると
とも表せる。
積分
体積を求めるには、底面となる円の面積を積分してもよい。
または、台形を回転させた回転体と見ることもできる。回転軸から台形の重心までの距離が
であることに注意してパップス–ギュルダンの定理を用いると、
となる。
関連項目