全称命題

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

これはこのページの過去の版です。2402:6b00:7469:5600:d438:477c:fc12:212a (会話) による 2020年9月26日 (土) 07:11個人設定で未設定ならUTC)時点の版であり、現在の版とは大きく異なる場合があります。

ナビゲーションに移動 検索に移動

全称命題(ぜんしょうめいだい、英:universal proposition)とは、一つの集合を構成する全ての項について、ある性質を肯定する命題である。これは命題なので真理値を常に持つ。

例えば、「全ての犬はいずれ死ぬ」という命題と「全ての牛は空を飛ぶ」という命題はどちらも全称命題であり、前者は真であり後者は偽である。全称命題は、存在命題の否定と論理的に等値である。それゆえ、「全ての牛は空を飛ぶ」という命題を主張することは、「少なくとも一頭は空を飛べない牛がいる」という命題を否定することと等値である。

述語P(x)に対して、述語の変数を集合Uを変域にする自由変数xの全てと考えたとき、集合Uに関して全称命題がつくられる[1]。∀xU(P(x))と表す[2]。「バラは赤い」は、Uを「バラ」の集合、P(x)を「xは赤い」と考えるとこの記号で表せる。ただし、Q(x)を「xはバラである」として、∀xQ(x)→P(x)とする場合もある。この場合、解釈の領域を、例えば「花」などにする必要がある[3]

ただし、ヒューム的な因果に関する懐疑論の線に従えば、真となる全称命題は唯一、アプリオリに存在し定義から導き出される種類の命題(「全ての犬は哺乳類である」など)に限られる。アポステリオリに、すなわち世界についての経験から導き出される命題(「全ての犬は4本足をもって生まれてくる」など)は決して真として確証されることはなく、差し当たり真とされている(反証可能である)、というものである。

脚注

[脚注の使い方]
  1. ^ 嘉田勝(2008) 「論理と集合から始める数学の基礎」p31〜32
  2. ^ 嘉田勝(2008) 「論理と集合から始める数学の基礎」p34
  3. ^ 清水義夫(1984) 『記号論理学』p38~39 p46~48

関連項目