ヤコビの虚数変換式

ヤコビの虚数変換式(Jacobi's imaginary transformation)は、楕円テータ関数に関する以下のような恒等式である。

$\vartheta _{3}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)=e^{-\pi i/4}\tau ^{1/2}e^{{\pi }iv^{2}/\tau }\vartheta _{3}\left(v,\tau \right)$

$\vartheta _{1}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)=-ie^{-\pi i/4}\tau ^{1/2}e^{{\pi }iv^{2}/\tau }\vartheta _{1}\left(v,\tau \right)$

$\vartheta _{2}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)=e^{-\pi i/4}\tau ^{1/2}e^{{\pi }iv^{2}/\tau }\vartheta _{4}\left(v,\tau \right)$

$\vartheta _{4}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)=e^{-\pi i/4}\tau ^{1/2}e^{{\pi }iv^{2}/\tau }\vartheta _{2}\left(v,\tau \right)$

この恒等式の日本語の呼称は定まっておらず、ヤコビの虚数変換式、ヤコビのモジュラー変換式、あるいは単にヤコビ変換式とも呼ばれる。テータ関数は二変数の関数であるが、第二変数を純虚数の定数として第一変数に着目すれば「虚数変換式」という呼称が的を射て、第一変数を定数として第二変数に着目すれば「モジュラー変換式」という呼称が的を射る。

公式に関する注意点

• $\theta _{i}(z,\tau )$の定義は一意ではなく、いくつかの流儀があり文献によって異なるので注意が必要である(主として、$\theta _{ij}(z,\tau )$の定義の違いが混乱を生んでいる)。この記事での定義は、D.Mumfordに従った次のようなものである。

${\begin{aligned}\theta _{0}(z,\tau )&:=\theta _{01}(z,\tau )\\&:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau n^{2}+2\pi in\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi i\tau n^{2}}\cos 2n\pi z,\\\theta _{1}(z,\tau )&:=-\theta _{11}(z,\tau )\\&:=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}}\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\sin(2n+1)\pi z,\\\theta _{2}(z,\tau )&:=\theta _{10}(z,\tau )\\&:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)z}\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }e^{\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\cos(2n+1)\pi z,\\\theta _{3}(z,\tau )&:=\theta _{00}(z,\tau )\\&:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau n^{2}+2\pi inz}\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}\cos 2n\pi z.\end{aligned}}$

• 「岩波数学公式集Ⅲ」p.48.では誤った式が書かれているので注意せよ。

楕円関数の虚数変換

ヤコビの楕円関数はテータ関数の比により表される。楕円関数の周期を$K,iK'$とすると

$\tau ={\frac {iK'}{K}}$

$k=\left({\frac {\vartheta _{2}(0,\tau )}{\vartheta _{3}(0,\tau )}}\right)^{2}$

$\operatorname {sn} (u,k)={\frac {\vartheta _{3}(0,\tau )\vartheta _{1}(u/2K,\tau )}{\vartheta _{2}(0,\tau )\vartheta _{4}(u/2K,\tau )}}$

$\operatorname {cn} (u,k)={\frac {\vartheta _{4}(0,\tau )\vartheta _{2}(u/2K,\tau )}{\vartheta _{2}(0,\tau )\vartheta _{4}(u/2K,\tau )}}$

テータ関数の虚数変換式により

$\tau '=-{\frac {1}{\tau }}={\frac {iK}{K'}}$

$k'=\left({\frac {\vartheta _{2}(0,\tau ')}{\vartheta _{3}(0,\tau ')}}\right)^{2}$

$\operatorname {sn} (iu,k)={\frac {\vartheta _{3}(0,\tau )\vartheta _{1}(iu/2K,\tau )}{\vartheta _{2}(0,\tau )\vartheta _{4}(iu/2K,\tau )}}={\frac {i\vartheta _{3}(0,\tau ')\vartheta _{1}(u/2K',\tau ')}{\vartheta _{4}(0,\tau ')\vartheta _{2}(u/2K',\tau ')}}=i{\frac {\operatorname {sn} (u,k')}{\operatorname {cn} (u,k')}}$

$\operatorname {cn} (iu,k)={\frac {\vartheta _{4}(0,\tau )\vartheta _{2}(iu/2K,\tau )}{\vartheta _{2}(0,\tau )\vartheta _{4}(iu/2K,\tau )}}={\frac {\vartheta _{2}(0,\tau ')\vartheta _{4}(u/2K',\tau ')}{\vartheta _{4}(0,\tau ')\vartheta _{2}(u/2K',\tau ')}}={\frac {1}{\operatorname {cn} (u,k')}}$

となり、楕円関数の虚数変数を得る。

証明

$\vartheta _{3}(v,\tau )$の虚数変換式の両辺の比を$f(v,\tau )$して恒等的に$f(v,\tau )=1$であることを証明する。テータ関数の二重周期性により

$f(v,\tau )={\frac {{\sqrt {-i\tau }}e^{{\pi }iv^{2}/\tau }\vartheta _{3}\left(v,\tau \right)}{\vartheta _{3}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)}}$

$f(v+1,\tau )={\frac {{\sqrt {-i\tau }}e^{{\pi }iv^{2}/\tau +2{\pi }iv/\tau +{\pi }i/\tau }\vartheta _{3}\left(v+1,\tau \right)}{\vartheta _{3}\left({\frac {v}{\tau }}+{\frac {1}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)}}={\frac {{\sqrt {-i\tau }}e^{{\pi }iv^{2}/\tau +2{\pi }iv/\tau +{\pi }i/\tau }\vartheta _{3}\left(v,\tau \right)}{e^{{\pi }i/\tau +2{\pi }iv/\tau }\vartheta _{3}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)}}=f(v,\tau )$

$f(v+\tau ,\tau )={\frac {{\sqrt {-i\tau }}e^{{\pi }i(v+\tau )^{2}/\tau }\vartheta _{3}\left(v+\tau ,\tau \right)}{\vartheta _{3}\left({\frac {v}{\tau }}+1,-{\frac {1}{\tau }}\right)}}={\frac {{\sqrt {-i\tau }}e^{{\pi }iv^{2}/\tau +2{\pi }iv+{\pi }i\tau }e^{-{\pi }i\tau -2{\pi }iv}\vartheta _{3}\left(v,\tau \right)}{\vartheta _{3}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)}}=f(v,\tau )$

であるから、$f(v,\tau )$は$v$の関数として二重周期を持つ。また、テータ関数は極を持たず、零点は

$\vartheta _{3}\left({\frac {1\pm {2m}}{2}}+{\frac {(1\pm {2n})\tau }{2}},\tau \right)=0$

$\vartheta _{3}\left({\frac {1\pm {2m}}{2}}-{\frac {1\pm {2n}}{2\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)=0$

であるから、$f(v,\tau )$は$v$の関数として複素平面全体で有界である。したがって、リウヴィルの定理により$v$には依存しない。

${\begin{aligned}f\left({\frac {1}{2}},\tau \right)&={\frac {{\sqrt {-i\tau }}e^{{\pi }i/4\tau }\vartheta _{3}\left({\frac {1}{2}},\tau \right)}{\vartheta _{3}\left({\frac {1}{2\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)}}={\frac {{\sqrt {-i\tau }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{n^{2}{\pi }i\tau +n{\pi }i}}}{\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{n^{2}{-\pi }i/\tau +n{\pi }i/\tau }e^{-{\pi }i/4\tau }}}}\\&={\frac {{\sqrt {-i\tau }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-1)^{n}e^{n^{2}{\pi }i{\tau }}}}{\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-(2n-1)^{2}{\pi }i/4\tau }}}}\\&={\frac {{\sqrt {-i\tau }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-1)^{n}e^{n^{2}{\pi }i{\tau }}}}{2\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-(2n-1)^{2}{\pi }i/4\tau }}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}f\left({\frac {1}{4}},{\frac {\tau }{4}}\right)&={\frac {{\sqrt {-i(\tau /4)}}e^{{\pi }i/4\tau }\vartheta _{3}\left({\frac {1}{4}},{\frac {\tau }{4}}\right)}{\vartheta _{3}\left({\frac {1}{\tau }},-{\frac {4}{\tau }}\right)}}={\frac {{\sqrt {-i\tau }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{n^{2}{\pi }i\tau /4+n{\pi }i/2}}}{2\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{-4n^{2}\pi }i/\tau +2n{\pi }i/\tau }e^{-{\pi }i/4\tau }}}}\\&={\frac {{\sqrt {-i\tau }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{i^{n}e^{n^{2}{\pi }i{\tau }/4}}}{2\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-(2n-1/2)^{2}{\pi }i/\tau }}}}={\frac {{\sqrt {-i\tau }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{i^{n}e^{n^{2}{\pi }i{\tau }/4}}}{2\left(\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-(2n-1/2)^{2}{\pi }i/\tau }}+\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-(-2n+1-1/2)^{2}{\pi }i/\tau }}\right)}}\\&={\frac {{\sqrt {-i\tau }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{i^{n}e^{n^{2}{\pi }i{\tau }/4}}}{2\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-(n-1/2)^{2}{\pi }i/\tau }}}}\\\end{aligned}}$

分子の$n$が奇数の項は正負で打ち消しあうから偶数の$n$を$2n$に改める。

${\begin{aligned}f\left({\frac {1}{4}},{\frac {\tau }{4}}\right)&={\frac {{\sqrt {-i\tau }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{i^{2n}e^{(2n)^{2}{\pi }i{\tau }/4}}}{2\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-(n-1/2)^{2}{\pi }i/\tau }}}}={\frac {{\sqrt {-i\tau }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-1)^{n}e^{n^{2}{\pi }i{\tau }}}}{2\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-(n-1/2)^{2}{\pi }i/\tau }}}}=f\left({\frac {1}{2}},\tau \right)\\\end{aligned}}$

先に示したように$f(v,\tau )$は$v$に依存しないので

$f\left(v,\tau \right)=f\left(v,{\frac {\tau }{4}}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(v,{\frac {\tau }{4^{n}}}\right)=\lim _{\tau '\to 0}f\left(v,\tau '\right)=f(v,0)$

であり、$f(v,\tau )$は$\tau$にも依存しない定数である。その値は

$f(v,\tau )=f(0,i)={\frac {\vartheta _{3}\left(0,i\right)}{\vartheta _{3}\left(0,i\right)}}=1$

である。