カー・ニューマン解

一般相対性理論
$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\tfrac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$
アインシュタイン方程式
入門 数学的定式化 関連書籍
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カー・ニューマン解（カー・ニューマンかい、英語: Kerr‐Newman metric、Kerr‐Newman solution）あるいはカー・ニューマン・ブラックホール解とは、一般相対性理論のアインシュタイン方程式の厳密解の一つで、回転する電荷を帯びたブラックホールを表現する軸対称時空の計量 (metric)である。このため、カー・ニューマン計量とも呼ばれる。ニュージーランドの数学者ロイ・カー (Roy Kerr)によるカー解の発見の2年後の1965年に、アメリカのニューマン (Ezra T. Newman) らによって発見された。質量・角運動量・電荷の三つのパラメータを持つブラックホール解として、一般相対性理論の描く時空の姿の理解に広く使われている。

カー・ニューマン計量は、次のように書ける。

$ds^{2}=-{\frac {\Delta }{\rho ^{2}}}\left(dt-a\sin ^{2}\theta d\phi \right)^{2}+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\rho ^{2}}}\left[\left(r^{2}+a^{2}\right)d\phi -{a}dt\right]^{2}+{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}dr^{2}+\rho ^{2}d\theta ^{2}$

ここで、

$\Delta \equiv r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}$

$\rho ^{2}\equiv r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta$

$a\equiv {\frac {J}{M}}$

であり、

$M\,$ は、ブラックホールの質量

$J\,$ は、ブラックホールの角運動量

$Q\,$ は、ブラックホールの電荷

である。ここでは、光速と万有引力定数を1とする幾何学単位系（$c=G=1\,$）を用いている。

電荷がゼロ ($Q=0\,$) の場合、この解はカー解を再現する。角運動量がゼロ ($J=0\,$) の場合、この解はライスナー・ノルドシュトロム解 (Reissner-Nordstrom解) を再現する。そして、電荷も角運動量もゼロの場合、シュヴァルツシルト解 (Schwarzschild解) を再現する。カー解と同様に、この計量がブラックホールとして理解されるのは、パラメータが $a^{2}+Q^{2}\leq M^{2}\,$ のときである。その他、計量としての特徴は、カー解の項を参照されたい。

ブラックホール脱毛定理 (no-hair theorem) において、すべての現実的なブラックホールは、いずれ、角運動量・質量・電荷の3つの物理量のみを持つカー・ニューマンブラックホールに落ち着くと考えられている。また、「アインシュタイン・マクスウェル方程式での軸対称定常解は、カー・ニューマン解に限られる」というブラックホール唯一性定理 (uniqueness theorem) も存在する。

参考文献

• Newman, E. T.; Couch, R.; Chinnapared, K.; Exton, A.; Prakash, A.; Torrence, R. (1965). “Metric of a Rotating, Charged Mass.”. J. Math. Phys. 6: 918-919. doi:10.1063/1.1704351. 

関連項目

• 一般相対性理論、アインシュタイン方程式
• ブラックホール、シュヴァルツシルトの解、シュヴァルツシルト・ブラックホール
• カー・ブラックホール、カー解
• ブラックホール脱毛定理、ブラックホール唯一性定理
• 宇宙検閲官仮説
• ブラックホール熱力学、ブラックホール面積定理