根二乗平均速度

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根二乗平均速度(こんにじょうへいきんそくど、: root-mean-square speed)とは、速度絶対値二乗平均平方根、すなわち速度の大きさの二乗 v 2統計集団平均 \langle v^2 \rangle平方根 \sqrt{\langle v^2 \rangle} である。 ここで速度 v の大きさ vv内積によって定められる。

v = |\boldsymbol{v}| := \sqrt{\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{v}}\,.

根二乗平均速度は気体分子運動論などの議論において現れる。

速度の分散 |\sigma(\boldsymbol{v})|^2 は速度の平均 \langle\boldsymbol{v}\rangle と速度の二乗平均 \langle v^2 \rangle を用いて以下のように書き表すことができる。

|\sigma(\boldsymbol{v})|^2
=\langle v^2 \rangle - \langle\boldsymbol{v}\rangle \cdot \langle\boldsymbol{v}\rangle\,.

もしも速度の平均 \langle \boldsymbol{v} \rangle0 ならば、二乗平均 \langle v^2 \rangle は分散と一致する。 このとき根二乗平均速度 \sqrt{\langle v^2 \rangle} は速度のゆらぎの大きさ |\sigma(\boldsymbol{v})| に等しい。

\sqrt{\langle v^2 \rangle} = |\sigma(\boldsymbol{v})| \quad (\langle \boldsymbol{v} \rangle = \boldsymbol{0}).

従って根二乗平均速度から、巨視的流れがないような系において、熱的なゆらぎに起因する速度の大きさを評価することができる。

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気体分子運動論[編集]

気体分子運動論における、単原子分子の二乗平均速度は次のように表される。

\sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt\frac{3RT}{M}\,.

ここで、R ≈ 8.314 J/(K · mol) は気体定数T熱力学温度M分子量である。 ボルツマン定数 k B ≈ 1.381 × 10-23 J/K とアヴォガドロ定数 N A ≈ 6.022 × 1023 /mol, および分子質量 m を用いると、ボルツマン定数と分子量の定義より、

R = k_\mathrm{B}N_\mathrm{A},\quad M = mN_\mathrm{A}

という関係が成り立つので、以下のように書き直される。

\sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt\frac{3k_\mathrm{B}T}{m}\,.

この関係から直ちに、1 単原子分子が持つ平均の運動エネルギーは温度に比例することが分かる。

\langle \frac{1}{2}mv^2 \rangle = \frac{3}{2}k_\mathrm{B}T\,.

導出[編集]

単原子分子の理想気体内部エネルギー U (T ) は以下の関係を満たす。

U(T)={3 \over 2} nRT\,.~~ \cdots ~~ (1)

ここで n は系のモル数である。これをボルツマン定数 k B と気体分子の個数 N を用いて書き直せば、n = N/N A なので、

U(T)={3 \over 2} Nk_\mathrm{B}T ~~ \cdots ~~ (2)

となる。理想気体の持つエネルギーは気体分子の持つエネルギーの総和に等しく、気体分子の持つエネルギーは運動エネルギーのみなので、次の関係を満たす。

U(T)=N\langle\frac{1}{2}mv^2\rangle\,.~~ \cdots ~~ (3)

(2), (3) の右辺同士を比較すれば、

N\langle\frac{1}{2}mv^2\rangle = {3 \over 2} Nk_\mathrm{B}T

より、根二乗平均速度と温度の関係式が得られる。

\sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt\frac{3k_\mathrm{B}T}{m}\,.~~\cdots~~(4)

関連項目[編集]