重調和方程式

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数学における重調和方程式: biharmonic equation)とは、次のように書かれる 4 階の偏微分方程式である:

ここで 4 は 4 階の偏微分作用素、またはラプラス作用素 Δ の自乗で、重調和作用素 (biharmonic operator) として知られている。

例えば、3次元デカルト座標系では重調和方程式は次の形になる。

重調和方程式の解は重調和関数 (biharmonic function) と呼ばれる。どんな調和関数も重調和であるが、逆は真ではない。

重調和方程式は連続体力学の分野(線型弾性理論における応力関数や流体力学におけるストークス流れの解など)において現れる。

2次元空間[編集]

2次元の場合の一般解は

ここで 調和関数 の調和共役である。

2変数の調和関数は複素解析関数と深く関わりを持つが、2変数の重調和関数についても同じことが言える。2変数の重調和関数の一般形は次のように書ける:

ここで 解析関数である。

2次元の極座標系では、重調和方程式は

となる。これは変数分離法によって解ける。その結果はミッシェル解英語版と呼ばれる。

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n 次元ユークリッド空間において、

ただし

は、n = 3, 5 のときのみ、重調和方程式となる。

参考文献[編集]

  • Weisstein, Eric W. (2002), CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, ISBN 1-58488-347-2 .
  • Hayek, S.I. (2000), Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0466-5 .
  • Den Hartog, J. P. (July 1st, 1987). Advanced Strength of Materials. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65407-9. .

関連項目[編集]

外部リンク[編集]