過不足算

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過不足算(かふそくざん)は文章題の一種。

概要[編集]

ある個数のものを何人かに分けたときの過不足の情報が2つ与えられる。そこから、人数と全体の個数を求める問題。 似たような問題に差集め算(さあつめざん)がある。 いずれも、

全体の差÷1つあたりの差=個数

という式が成り立つ。

しかし、小学生には、例題1、例題2、例題3は少し違ったものに映るよう[誰によって?]なので、3つの型があるとして与えるとよい。やがて、彼らは3つの型は結局同じものであると気づく[要出典]


古くは「盈(えい)不足算」ともいわれていた。

歴史[編集]

  • 中国の数学書、九章算術に同様な問題がある。
  • 日本では、塵劫記布盗人算(きぬぬすびとざん)として登場する。

例題(余る場合と不足する場合が存在する場合)[編集]

泥棒たちが盗んだ布を山分けする。布を8反ずつ分けると4反あまり、10反ずつ分けると8反足りない。泥棒は何人いるか、また布は何反盗んだか。

解法[編集]

  • 過不足算の解法はいろいろなものが知られていて(ただ本質的な差はほとんどなく、どちらかといえば表現の問題だが)[要出典]人によってかなり好みも分かれるようである[誰?]
  • ひとつの解法として以下のものがあげられる。
    • 盗んだ布を8反多いことにしてみる。すると8反ずつ分ける方法では、12反あまり、10反ずつ分ける方法ではちょうど割り切れることになる。
    • これより、2反×人数=12反であることがわかる。
    • したがって、泥棒は6人、また、盗んだ布は8×6+4=10×6-8=52反だったことがわかる。

別解[編集]

全体の差÷1人分の差=人数

(8+4)÷(10-8)=6(人)

8×6+4=52 (反)

または

10×6-8=52 (反)

答えは6人、52反である。

Kabusoku.jpg

例題(どちらとも余る場合)[編集]

泥棒たちが盗んだ布を山分けする。布を8反ずつ分けると12反あまり、10反ずつ分けると2反あまる。泥棒は何人いるか、また布は何反盗んだか。

解法[編集]

全体の差÷1人分の差=人数

(12-2)÷(10-8)=5(人)

8×5+12=52 (反)

または

10×5+2=52 (反)

答えは5人、52反となる。

Kabusoku2.jpg

例題(どちらとも不足する場合)[編集]

泥棒たちが盗んだ布を山分けする。布を8反ずつ分けるには2反不足し、10反ずつ分けるには12反不足する。泥棒は何人いるか、また布は何反盗んだか。

解法[編集]

全体の差÷1人分の差=人数

(12-2)÷(10-8)=5(人)

8×5-2=38 (反)

10×5-12=38 (反)

答えは5人、38反となる。

Kabusoku3.jpg