連続線型拡張

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数学関数解析学の分野における連続線型拡張(れんぞくせんけいかくちょう、: continuous linear extension)とは、次に述べる手順のことを指す:

完備ノルム線型空間 上にある線型変換を定義する時、初めに 内の稠密部分集合上に線型変換 を定義し、その後、後述の定理によって、 を全空間へと拡張することが便利となることが、しばしばある。この結果として得られる拡張は線型かつ有界(したがって、連続)である。

定理[編集]

ノルム線型空間 から完備なノルム線型空間 への任意の有界線型変換 には、その拡張となるような 完備化から へのある有界線型変換 が一意に存在する。また、作用素ノルム であることと、 の作用素ノルムが であることは同値である。

この定理はしばしば BLT定理と呼ばれる。ここで、BLTは有界線型変換(Bounded Linear Transformation)を意味する。

応用[編集]

一例として、リーマン積分の定義について考える。ある区間 上の階段関数は、次の形式で記述される:

ここで は実数であり、 とし、 は集合 指示関数を表す。 上のすべての階段関数からなる空間に ノルム(Lp空間を参照)を備えたものはノルム線型空間であり、ここではそれを と表す。階段関数の積分を、次のように定義する:

このとき、関数としての は、 から への有界線型変換である[1]

ノルムについて右側連続であるような、 上の区分的連続かつ有界関数からなる空間を、 で表す。上述の空間 は、 において稠密であるため、BLT定理を応用することが出来る。結果として線型変換 は、 から への有界線型変換 へと拡張される。これにより、 内のすべての関数についてリーマン積分を定義することが出来る。すなわち、すべての に対して、そのリーマン積分は

で定義される。

ハーン=バナッハの定理[編集]

上述の定理によって、有界線型変換 を、「 において稠密であるなら」、 から へのある有界線型変換へと拡張することが出来た。 において稠密でない場合、ハーン=バナッハの定理を使うことで、ある拡張が存在することを示すことが出来る場合もある。しかし、そのような拡張は必ずしも一意ではない。

参考文献[編集]

  • Reed, Michael; Barry Simon (1980). Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-585050-6. 

脚注[編集]

  1. ^ ここで、 もノルム線型空間であることに注意されたい。実際、線型空間の公理を満たすことから線型空間であり、そのノルムは絶対値によって定めることが出来る。