線型代数学の基本定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動先: 案内検索

数学の分野における線型代数学の基本定理(せんけいだいすうがくのきほんていり、: fundamental theorem of linear algebra)とは、ベクトル空間に関するいくつかの定理である。それらの定理においては、ある m×n 行列 A階数 r や、その特異値分解

に関する内容が、具体的にまとめられている。はじめに、各行列 (行列 個の行と 個の列を持つ)は、「四つの基本部分空間」を導く。それらを次の表に示す:

部分空間の名前 定義 含まれる空間 次元 基底
列空間値域あるいは あるいは 階数 の初めの
零空間あるいは あるいは (退化次数) の最後の
行空間あるいは余像 あるいは 階数 の初めの
左零空間あるいは余核 あるいは (余階数) の最後の

続いて、次が成立する:

  1. において、 である。すなわち零空間は、行空間の直交補空間である。
  2. において、 である。すなわち左零空間は、列空間の直交補空間である。
行列 A に関する四つの部分空間

各部分空間の次元は階数・退化次数の定理によって関連付けられており、上表の定理に従う。

また、これら全ての空間は、基底の選び方に依らず、本質的に定義される。そのような場合この定理は、抽象的ベクトル空間や作用素および双対空間として、 および を用いて次のように言い直すことが出来る: の核および像は、 の余核および余像に、それぞれ等しい。

関連項目[ソースを編集]

参考文献[ソースを編集]

外部リンク[ソースを編集]