入射加群

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数学において、入射加群(にゅうしゃかぐん、: injective module)、あるいは移入加群(いにゅうかぐん)とは、関手 Hom(–, E)完全となるような加群 E のことである。 ホモロジー代数における基本的な概念のひとつ。

動機[編集]

一般の加群 Q に対して反変関手 Hom(–, Q) は左完全である。 つまり任意の短完全列

に対して

は完全である。 この関手 Hom(–, E) が完全となる、つまり

が完全となる加群 Q のことを移入加群と呼ぶ。

移入加群の特徴づけ[編集]

R単位元をもつとし、以下では加群はすべて左 R 加群、射はすべて左 R 加群の準同型を指すことにする。 加群 Q移入加群であることは次のいずれの条件とも同値である。

  • 関手 Hom(–, Q)完全である、つまり任意の短完全列 0 → NMK → 0 に対して 0 → Hom(K, Q) → Hom(M, Q) → Hom(N, Q) → 0 も短完全列である
  • 任意の単射 NM に対して Hom(M, Q) → Hom(N, Q) は全射である
  • 任意の加群 M と正の整数 n に対して Extn(M, Q) = 0
  • 任意の巡回加群 C に対して Ext1(C, Q) = 0
  • 任意の単射 f : XY と射 g : XQ に対して h f = g となる射 h : YQ が存在する
Injective module.png
  • 任意の単射準同型 f : QM分裂単射
  • 任意の短完全列 0 → QMK → 0分裂する

自己移入環[編集]

R が自身の上の左加群として移入的であるとき、左自己移入環と呼ぶ。右自己移入環も同様。

性質[編集]

  • Qi はすべて移入加群 ⇔ Qi は移入加群

Baerの判定法[編集]

R-加群 Q が移入加群であるための必要十分条件は、R の任意の左イデアル L と任意の準同型 LQ に対して、その拡張 RQ が存在することである。

移入分解と移入次元[編集]

加群 M に対し、各 が移入加群であるような次の完全列

M移入分解という。任意の加群は移入分解をもつ。すべての i > n に対し Qi = 0 であるような移入分解を長さ n の移入分解という。そのような n が存在する場合その最小値を M移入次元といい、存在しない場合は移入次元は という。ただし、{0} の移入次元は −1 とする。移入次元は id(M) と書かれる。R-加群 M と整数 n ≥ 0 に対して以下は同値。

  • id(M) ≤ n.
  • 任意の R-加群 X に対して、
  • 任意の in+1 と任意の R-加群 X に対して、

参考文献[編集]

関連項目[編集]