直交関数列

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数学において直交関数列(ちょっこうかんすうれつ、: orthogonal functions)とは互いに直交する関数列の事である。

定義[編集]

区間 (α, β) (−∞ ≤ α < β ≤ ∞) 上で定義された複素数値関数 f(x), g(x) に対し

は、積分が有限値として存在するならば、内積となる。

(α, β) 上の複素値関数の列 {φn(x)} が、この内積に対し、互いに直交し、

であるとき、直交関数列であるという。

特に直交関数列のうち、ノルム1、すなわち

であるものものを正規直交関数列という。

また、実数値関数の列 {φn(x )} とある関数 w(x) ≥ 0 に対し、{(w(x))1/2φn(x)} が直交関数列をなし、

であるとき、この関数列を重み(荷重)w(x)直交関数列という。

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三角関数形[編集]

余弦関数系

1と余弦関数による列{1, cosx, cos2x, cos3x,…}は区間 [0, π] で直交関数系を成す。

正弦関数系

正弦関数による列 {sinx, sin2x, sin3x,…} は区間 [0, π] で直交関数系を成す。

三角関数系

{1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…} は [-π, π] で直交関数系を成す。

直交多項式[編集]

エルミート多項式[編集]

関係式

  

で定義されるエルミート多項式は区間 (−∞, ∞) 上の重み ex2/2 の直交関数系であり、

  

を満たす。

ルジャンドル多項式[編集]

関係式

  

で定義されるルジャンドル多項式は区間 [−1, 1] 上の直交関数系であり、

  

を満たす。

ラゲール多項式[編集]

関係式

  

で定義されるラゲール多項式は区間 [0, ∞) 上の重み ex の直交関数系を成し、

  

を満たす。

チェビシェフ多項式[編集]

関係式

  

で定義されるチェビシェフ多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x2)−1/2 の直交関数系を成し、

  

を満たす。

ゲーゲンバウアー多項式[編集]

関係式

  

で定義されるゲーゲンバウアー多項式は区間 [−1, 1] 上の重み (1 − x2)α − 1/2 の直交関数系を成し、

  

を満たす。

完備関数列[編集]

直交関数列で、

となるもののことを言う。

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三角関数列

関連項目[編集]