斜交座標系

斜交座標系（2次元）

斜交座標系（しゃこうざひょうけい、oblique coordinate system）とは、斜めに交わった数直線を軸とする座標系である。直交座標系の拡張としてとらえられる。

2次元平面における斜交座標系

2本の数直線x 、y が定点Oを共通の原点として、なす角θ ≠ 0°,90°,180°で交わっているとき、その座標系はx軸、y軸からなる斜交座標となる。 座標平面上の全ての点Pは、その点からx軸、y軸に関して平行線をひくことにより、P(a, b)と一意に表すことができる。 逆にある座標P(a,b)が与えられれば、Pの座標平面上の位置は一意に決定される。

なお、2本の軸のなす角θがθ = 90°のときは直交座標系となる。

直交座標系との座標変換

x軸、y軸からなる斜交座標系と共通の原点を持つx'軸、y'軸からなる直交座標系について、x軸、y軸がx'軸となす角をそれぞれ$\theta _{x}$、$\theta _{y}$とする。
斜交座標系でP(a, b)と表されている点を直交座標(a', b')に座標変換する公式は以下である：

${\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{x}&\cos \theta _{y}\\\sin \theta _{x}&\sin \theta _{y}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}$

内積

「ベクトルの共変性と反変性」も参照

直交座標系の場合は、2つのベクトル${\vec {u}}=(u_{x},u_{y}),{\vec {v}}=(v_{x},v_{y})$の内積はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる：

${\begin{aligned}{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}&=u_{x}v_{x}+(u_{x}v_{y}+u_{y}v_{x})\cos \theta +u_{y}v_{y}\\&={\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&\cos \theta \\\cos \theta &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

ここで右辺に現れる行列は、計量テンソルに一般化される。

あるいは次のようにも表現できる：

${\begin{aligned}&{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=u^{i}v_{i}=u^{1}v_{1}+u^{2}v_{2},\\&(u^{1},u^{2})=(u_{x},u_{y}),\\&(v_{1},v_{2})=(v_{x}+v_{y}\cos \theta ,v_{x}\cos \theta +v_{y})\end{aligned}}$

このとき、添字が上についている量（u¹ など）を反変成分、下についている量（v₁ など）を共変成分という。各座標軸の方向を向く単位ベクトル（共変基底ベクトル）を${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}$ とすれば、反変成分を用いて

${\vec {u}}=u^{i}{\vec {e}}_{i}=u^{1}{\vec {e}}_{1}+u^{2}{\vec {e}}_{2}$

と書くことができる。また、反変基底ベクトルとして

• ${\vec {e}}^{1}$：y軸（または${\vec {e}}_{2}$）に垂直で長さが 1/sinθ のベクトル
• ${\vec {e}}^{2}$：x軸（または${\vec {e}}_{1}$）に垂直で長さが 1/sinθ のベクトル

とすれば、共変成分を用いて

${\vec {v}}=v_{i}{\vec {e}}^{i}=v_{1}{\vec {e}}^{1}+v_{2}{\vec {e}}^{2}$

と書くことができる。

この例では、計量テンソルg は

${\begin{aligned}g_{ij}&={\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{2}\\{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\cos \theta \\\cos \theta &1\end{pmatrix}},\\g^{ij}&={\begin{pmatrix}{\vec {e}}^{1}\cdot {\vec {e}}^{1}&{\vec {e}}^{1}\cdot {\vec {e}}^{2}\\{\vec {e}}^{2}\cdot {\vec {e}}^{1}&{\vec {e}}^{2}\cdot {\vec {e}}^{2}\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\begin{pmatrix}1&-\cos \theta \\-\cos \theta &1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

となる。

上記の議論は${\vec {u}},{\vec {v}}$ を入れ替えても同様に成り立つ。

関連項目

• 直交座標系
• 極座標系