「コーシー=シュワルツの不等式」の版間の差分

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{{出典の明記|date=2015年12月}}
[[数学]]における'''コーシー=シュワルツの不等式'''(コーシーシュワルツのふとうしき、{{lang-en-short|Cauchy–Schwarz inequality}})、'''シュワルツの不等式'''、'''シュヴァルツの不等式'''あるいは'''コーシー=ブニャコフスキー=シュワルツの不等式''' {{lang|en|(Cauchy–Bunyakovski–Schwarz inequality)}} とは、[[内積空間]]における二つのベクトルの間の[[内積]]がとりうる値をそれぞれのベクトルの[[ノルム]]によって評価する不等式である。[[線型代数学]]や[[関数解析学]]における有限次元および無限次元のベクトルに対するさまざまな内積や、[[確率論]]における[[分散]]や[[共分散]]に適用されるなど、様々な異なる状況で現れる有用な不等式である。
 
数列に対する不等式は[[オーギュスタン=ルイ・コーシー]]によって1821年に、積分系での不等式はまず[[ヴィクトール・ブニャコフスキー]]によって1859年に発見された後[[ヘルマン・アマンドゥス・シュワルツ]]によって1888年に再発見された。
''x'' や ''y'' が[[実数|実]]または[[複素数|複素]][[内積空間]] (''X'', <•, •>) の元であるとき、
シュワルツの不等式は次のように述べられる:
:<math>|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.</math>
左辺は内積 &lt;''x'', ''y''&gt; の[[絶対値]]の平方である。ここに、等号は ''x'' と ''y'' が[[線型従属]]であるとき、つまり ''x'', ''y'' のいずれか一方が 0 であるか、さもなくば一方が他方の適当なスカラー倍であるときであり、かつそのときに限る。内積の導くノルム ||''x''||<sup>2</sup> := &lt;''x'', ''x''&gt; を用いればこれは
: <math>|\langle x, y \rangle| \leq \Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert</math>
とも表せる。
 
== 証明に関する話題 ==
シュワルツの不等式の特徴的な証明の一つに、二次式とその判別式を用いるものがある。実際、&lt;''x'', ''y''&gt; なる内積を考えるとき、''t'' を実変数(あるいは任意の実定数)として
: <math>0 \le \langle x + tyt|\langle x,y\rangle|y, x + tyt|\langle x,y\rangle|y \rangle = \langle x, x \rangle + 2 |\langle x, y \rangle|^2 t + |\langle x,y\rangle|^2 \langle y, y\rangle t^2</math>
は(内積の性質により)''t'' の如何にかかわらず成立する ''t'' の二次の絶対不等式となる。ゆえに、二次の絶対不等式に関してよく知られた事実により、この ''t'' に関する二次式の判別式
: <math> (|\langle x, y \rangle |^2)^2 - \langle x, x\rangle \langle y, y \rangle |\langle x,y\rangle |^2</math>
は半負定値(非正)でなければならない。これを整理してシュワルツの不等式を得る。
 
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