「オイラーの公式」の版間の差分

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== 指数関数と三角関数 ==
実関数として定義される[[指数関数]] {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} および[[三角関数]] {{math|cos&thinsp;''x''}}, {{math|sin&thinsp;''x''}} を各々[[マクローリン展開]]すれば<ref group="注">{{math|''x'' {{=}} 0}} の周りの[[テイラー展開]]<ref group="注">このような原点中心とするテイラー展開はしばしば'''マクローリン展開''' {{en|(Maclaurin expansion)}} と呼ばれる。また一般に関数を[[冪級数]]として表すことを冪級数展開と呼ぶ。</ref>を行えば
{{numBlk|:|<math>e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ for all }x</math>|{{equationRef|Macl1|1}}}}
{{numBlk|:|<math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \, x^{2n}\quad\mbox{ for all } x</math>|{{equationRef|Macl2|2}}}}
であるので、任意の {{mvar|y}} で収束し、{{math|''y'' {{=}} ''x''<sup>2</sup>}} を代入した級数も任意の {{mvar|x}} で収束し、それに {{mvar|x}} をかけた級数(すなわち {{math|sin&thinsp;''x''}} のマクローリン展開)も任意の {{mvar|x}} で収束する。
 
以上で {{equationNote|Macl1|(1)}}, {{equationNote|Macl2|(2)}}, {{equationNote|Macl3|(3)}} の右辺の収束半径が {{math|∞}} であることが証明された。</ref>。従ってこれらの級数は、任意の複素数 {{mvar|x}} について平面上広義一様に[[絶対収束]]し、これらの級数によって表される関数は[[整関数]]である。(なおこれらは多項式でないので超越[[整関数]]であり、[[無限遠点]]を[[真性特異点]]に持つ)。これら級数の収束性と[[正則関数]]に関する[[一致の定理]]により、[[解析接続|正則関数としての拡張]]は全平面でこの収束[[冪級数]]によって確定されるため、複素関数としての指数関数および、三角関数は通常、この級数展開式をもって定義される。
 
ここで、 {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} の {{mvar|x}} を {{mvar|ix}} に置き換え、{{math|''e''<sup>''ix''</sup>}} の冪級数が絶対収束するために級数の項の順序を任意に交換可能である事を考慮すれば
e^{ix}
&= \sum^{\infin}_{n=0} \frac{i^n}{n!} x^{n}\\
&=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(ix)i^{2n}}{(2n)!}x^{2n} +\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(ix)i^{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\
&=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} +i\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}
\end{align}</math>
が成り立つ。上記この式と三角関数の冪級数展開を比較すれば
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x</math>
が得られる。これは冪級数展開よる本公式の証明である。
 
この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、[[複素数]]の世界では密接に結びついていることを表している。
たとえば、三角関数の[[三角関数#加法定理|加法定理]]は、指数法則 {{math|''e''<sup>''a''</sup>''e''<sup>''b''</sup> {{=}} ''e''<sup>''a'' + ''b''</sup>}} に対応していることが分かる<ref name="複素関数を学ぶ人のために" /><ref group="注">{{math|''e''<sup>''a'' + ''b''</sup>}} を冪級数で表し、各項を[[二項定理|二項展開]]する。し、展開した項を改めて整理すれば、指数法則 {{math|''e''<sup>''a'' + ''b''</sup> {{=}} ''e''<sup>''a''</sup>''e''<sup>''b''</sup>}} を導出できる。
:<math>\begin{align}\scriptstyle
e^{a+b}
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