「角運動量保存の法則」の版間の差分

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'''角運動量保存の法則'''(かくうんどうりょうほぞんのほうそく)は, 以下のような法則である:
 
[[質点系]]について, 単位時間あたりの全[[角運動量]]の変化は, 外力による[[トルク]] (力の[[モーメント]])に等しい(ただし, 内力が[[中心力]]であるときに限る)。
 
この特別な場合として, 外力が働かない(もしくは, 外力が働いていたとしてもそれによる[[トルク]]が0の)場合, 質点系の[[角運動量]]は常に一定である。例えば、[[フィギュアスケート]]の選手がスピンをする際、前に突き出した腕を体に引きつけることで回転が速くなる([[角速度]]が大きくなる)。このとき回転軸から腕先までの距離が短くなるため, かわりに回転が速くなることによって, 角運動量が一定に保たれる。
 
回転する「[[独楽|こま]]」は、回転軸にそって、(上から見て)時計回りなら下向きの、反時計回りなら上向きの[[角運動量]]を持っている。独楽の回転軸(それは重心を貫いている)が鉛直方向に平行であれば, 独楽にかかる[[重力]]と, 床から独楽が受ける[[垂直抗力]]が共に1本の直線上(回転軸上)にあるため, 独楽に働く, 外力による[[トルク]]は0である。従って, この場合, 独楽の[[角運動量]]は一定であり, 独楽は軸周りの回転だけを続ける。ところが, 独楽が傾くと, 独楽にかかる重力と, 床から独楽が受ける[[垂直抗力]]は, 1本の直線上には乗らず, 従って, これらの力が[[トルク]]を生じる。この[[トルク]]が独楽の[[角運動量]]を変化される。その結果, 独楽は本来の回転軸のまわりの回転に加えて, それとは別の軸(独楽と床が接する点を通る鉛直線)のまわりでも回転をする。それが独楽の「みそすり運動」すなわち[[歳差運動]]である。
 
== 角運動量保存の法則の証明 (1つの質点の場合) ==
1つの[[質点]][[角運動量]] <math>\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}</math> の時間変化([[時間微分]])は以下の式のようになる。
 
{{Indent|<math>\frac{d \vec{L}}{dt} = \frac{d \vec{r}}{dt} \times \vec{p}+ \vec{r} \times \frac{d \vec{p}}{dt}</math>}}
ここで、<math>\vec{r}</math> は[[質点]]の[[位置ベクトル]]、<math>\vec{p}</math>は[[運動量]]、<math>t</math>は[[時間]]である。右辺第一項は、
 
{{Indent|<math>\frac{d \vec{r}}{dt} \times \vec{p} = \vec{v} \times m \vec{v} = m \vec{v} \times \vec{v} = \vec{0} </math>}}
 
すなわち、[[速度]] <math>\vec{v}</math> どうしの[[外積]]なので<math>\vec{0}</math>となる。よって、<math>d\vec{L} / dt</math>は次のようになる。
 
{{Indent|<math>\frac{d \vec{L}}{dt} = \vec{r} \times \frac{d \vec{p}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F}</math>}}
 
ここで、<math>\vec{r} \times \vec{F}</math> は、[[外力]] <math>\vec{F}</math> による[[トルク]] ([[力のモーメント]])である。, [[運動方程式]]<math>d\vec{p}/dt=\vec{F}</math>を使て、た。この式の意味するところは, '''角運動量の時間変化は外力によるモーメントに等しい'''ということである。これにより、以下のことが分かる。
 
*もし外力がなければ、すなわち <math>\vec{F} = \vec{0}</math> ならば、当然 <math>\vec{r} \times \vec{F} = \vec{0}</math> であり、角運動量は保存される。
*外力が<math>\vec{r}</math> と平行の場合, <math>\vec{r} \times \vec{F} = \vec{0}</math> すなわち[[トルク]]が0となって、角運動量は <math>\vec{L} = \mbox{const.}</math>(一定)となり、保存される。
 
よって、[[質点]]に外力がまったく働かないか、あるいは外力が位置ベクトルに平行([[トルク]]が0)であるならば、その質点の[[角運動量]]は保存される。
 
== 角運動量保存の法則の証明 (質点系, つまり複数の質点の場合) ==
''n''個の[[質点]]を考える。''i''番目の質点を「質点''i''」と呼ぶ。質点''i''に関する量を添字''i''で表す。前項より, 質点''i''の[[角運動量]]について以下が成り立つ:
{{Indent|<math>\frac{d \vec{L}_i}{dt} = \vec{r_i} \times \vec{F_i}</math>}}
質点''i''に働く力<math>\vec{F_i}</math>は, 以下のように表される:
ここで, <math>\vec{F_{ij}}</math>は質点''j''が質点''i''に及ぼす力(内力)であり, <math>\vec{F_i^e}</math>は質点''i''におよぶ外力である。これを上式に代入し, ''i''について総和をとれば,
{{Indent|<math>\sum_i\frac{d \vec{L}_i}{dt} = \sum_i\vec{r_i} \times (\sum_j \vec{F_{ij}}+\vec{F_i^e}) = \sum_i \sum_j \vec{r_i} \times \vec{F_{ij}}+\sum_i \vec{r_i} \times \vec{F_i^e}</math>}}
となる。右辺第一項は, [[作用反作用の法則]](<math>\vec{F_{ij}}=-\vec{F_{ji}}</math>)より, 次式のようになる:
{{Indent|<math>\sum_i \sum_j \vec{r_i} \times \vec{F_{ij}}=\sum_{i<j}{(\vec{r_i}-\vec{r_j})} \times \vec{F_{ij}}</math>}}
ここで, もし内力が中心力ならば(すなわち, 質点同士が互いに及ぼす力が, 両者を結ぶ直線上にあるならば), <math>\vec{r_i}-\vec{r_j}</math>と<math>\vec{F_{ij}}</math>は互いに平行であるので, (外積の性質より)この式の<math>\sum</math>の中は<math>\vec{0}</math>になる。つまりこの式は<math>\vec{0}</math>になる。従って,
{{Indent|<math>\frac{d }{dt} \sum_i\vec{L}_i= \sum_i \vec{r_i} \times \vec{F_i^e}</math>}}
となる。すなわち, 質点系の全[[角運動量]]の時間変化(左辺)は, 質点系に外力が及ぼす全[[トルク]](右辺)に等しい。
 
== ケプラーの法則との関係 ==
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