ランベルトのW関数

-1/e ≤ x ≤ 4 における W₀(x) のグラフ。

ランベルトのW関数(―のだぶりゅーかんすう、Lambert's W function) とは、次の関数の逆関数である。

$f(w)=we^{w}\,$

ただし、$e^{w}$ は指数関数、$w$ は任意の複素数である。「ランベルトのW関数」という名前は、ヨハン・ハインリッヒ・ランベルト にちなんで名づけられた。また、オメガ関数(―かんすう、Omega function)、対数積(たいすうせき、product log) という呼び名もある。

ランベルトのW関数は、通常 $W(z)$ と表記される。ここで、任意の複素数 $z$ に対して、次式が成立する。

$z=W(z)e^{W(z)}\,$

関数 $f$ は $(-\infty ,0)$ において単射ではないため、関数 $W$ は $[-1/e,0)$ で多価となる。もし、定義域を実数 $x\geq -1/e$、値域を $w\geq -1$ に制限するとすれば、グラフで示した一価関数 $W_{0}(x)$ が定義される。特に、$W_{0}(0)=0$, $W_{0}(-1/e)=-1$ である。

ランベルトのW関数は、初等関数では表現できない。これは、木の数え上げなどの、組合せ論の分野において有用である。また、これは、指数関数を含む様々な方程式を解くのに使われたり、$y'(t)=ay(t-1)$ のような遅延微分方程式(time-delayed differential equations) の解に現れたりする。

陰関数の微分公式によって、$W$ を次のような微分方程式を満たすものとして表示できる。

$z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad \mathrm {for\ } z\neq -1/e$

$W_{0}$ の 0 近傍におけるテイラー級数は、Lagrange inversion theorem を用いると求めることができ、次式で与えられる。

$W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots$

ダランベールの収束判定法によると、収束半径は $1/e$ である。この級数によって定義された関数は、定義域が複素数全体で、ブランチカット(branch cut) を区間 $(-\infty ,1/e]$ に持つ正則関数に拡張することができる。この関数は、ランベルトのW関数の主値として定義される。

方程式の求解への応用

指数関数を含む方程式の多くは、W関数を用いることで解くことができる。主な方針は、未知数を含む項を方程式の左辺（あるいは右辺）に寄せ、W関数で解を表現できる $xe^{x}$ の形にすることである。例えば、方程式 $2^{t}=5t$ を解くには、両辺を $2^{t}$ で割り、$1=5te^{-\ln(2)t}$ と変形する。そして両辺を $5$ で割り、$-\ln(2)$ を掛ける。すると、$-\ln(2)/5=-\ln(2)te^{-\ln(2)t}$ となる。ここで、W関数を用いれば、$-\ln(2)t=W(-\ln(2)/5)$、即ち $t=-W(\ln(2)/5)/\ln(2)$ となる。

同様の方法で、

$x^{x}=z$

の解は、

$x={\frac {\ln(z)}{W(\ln(z))}}$

あるいは

$x=\exp(W(\ln(z))).$

となる。

複素数の無限回の累乗

$z^{z^{z^{\cdots }}}\!$

が収束するとき、ランベルトのW関数を用いれば、その極限値を次のように表現できる。

$c={\frac {W(-\log(z))}{-\log(z)}}$

ただし、$\log(z)$ は複素対数関数の主値とする。

関数 $W(x)$、あるいは $W(x)$ を使って表現される関数の積分は、多くの場合 $w=W(x)$ (即ち、$x=we^{w}$) と置換することで解ける。

$\int W(x)\,dx=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.$

特殊値

$W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}$

$W\left(-{1 \over e}\right)=-1$

$W\left(-{\frac {\ln 2}{2}}\right)=-\ln 2$

$W(0)=0\,$

$W(e)=1\,$

$W(1)=\Omega \,$ （オメガ定数）

数値計算

W関数は、漸化式

$w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}(w_{j}+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{w_{j}}-z)}{2w_{j}+2}}}}$

を用いることで数値計算することができる。この計算法は、コーレス(Corless) らにって与えられた。これを計算する Python のコードを以下に示す。誤差の評価には、Chapeau-Belandeau と Monir によるものを用いている。

import math

class Error(Exception):
	pass

def lambertW(x, prec=1e-12):
	w = 0
	for i in xrange(100):
		wTimesExpW = w*math.exp(w)
		wPlusOneTimesExpW = (w+1)*math.exp(w)
		if prec>abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW):
			break
		w = w-(wTimesExpW-x)/(
			wPlusOneTimesExpW-(w+2)*(wTimesExpW-x)/(2*w+2))
	else:
		raise Error, "W doesn't converge fast enough for %f"%x
	return w

これは、$x>1/e$ における主値を計算するものである。初期値の選び方次第で、性能を上げることができる。

以下に示す閉じた形の近似は、さほど精度を要求ない場合や、上のコードに少ない反復回数で優れた初期値を与える際に用いる。

 double
 desy_lambert_W(double x) {
       double  lx1;
       if (x <= 500.0) {
               lx1 = log(x + 1.0);
               return 0.665 * (1 + 0.0195 * lx1) * lx1 + 0.04;
       }
       return log(x - 4.0) - (1.0 - 1.0/log(x)) * log(log(x));
 }

（http://www.desy.de/~t00fri/qcdins/texhtml/lambertw/ より）

参考文献・外部リンク

• Corless et al. "On the Lambert W function" Adv. Computational Maths. 5, 329 - 359 (1996) (PostScript)
• Chapeau-Blondeau, F. and Monir, A: "Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2", IEEE Trans. Signal Processing, 50(9), 2002
• MathWorld - Lambert W-Function
• Lambert function from Wolfram's function site.
• Francis et al. "Quantitative General Theory for Periodic Breathing" Circulation 102 (18): 2214. (2000). Use of Lambert function to solve delay-differential dynamics in human disease.
• Extreme Mathematics. Monographs on the Lambert W function, its numerical approximation and generalizations for W-like inverses of transcendental forms with repeated exponential towers.
• Computing the Lambert Wfunction