「カタラン予想」の版間の差分

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'''カタラン予想'''( -よそう)とは、[[1844年]]にベルギー人の数学者・[[w:en:Eugène Charles Catalan|Eugène Charles Catalan]]が提唱した予想である。[[2002年]]に[[プレダ・ミハイレスク]]によりその完全な[[証明]]が行われた<ref>Mihăilescu(2004). これに先立ってBull. AMS誌の記事 Mets&auml;nkyl&auml;, Tauno (2003) でその概略が解説されている。</ref>。2005年に、自身で証明を簡単化した<ref>[http://www.uni-math.gwdg.de/preda/mihailescu-papers/catber.pdf REFLECTION, BERNOULLI NUMBERS AND THE PROOF OF CATALAN'S CONJECTURE](英語)</ref>
 
== 内容 ==
次の[[ディオファントス方程式|不定方程式]]が存在する場合、
:''x{{sup|a}}'' &minus; ''y{{sup|b}}'' = 1
 
:''x''<sup>, ''a''</sup> &minus;, ''y''<sup>, ''b''</sup> => 1
:''x'', ''a'', ''y'', ''b'' &gt; 1  
 
上記を満たす[[自然数]]解の組み合わせは
:''x'' = 3, ''a'' = 2, ''y'' = 2, ''b'' &gt;= 1  3
 
:''x'' = 3, ''a'' = 2, ''y'' = 2, ''b'' = 3.
 
だけであるというものである。
 
== 外部リンク ==
* [http://www.maa.org/mathland/mathtrek_06_24_02.html Ivars Peterson's MathTrek]
* Mets&auml;nkyl&auml;, Tauno (2003). [http://www.ams.org/bull/2004-41-01/S0273-0979-03-00993-5/S0273-0979-03-00993-5.pdf Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved], ''Bull. (New Ser.) Amer. Math. Soc.'' '''41''' (1), 43&ndash;57.
 
== 参考文献 ==
*Section D9 in Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition, Springer-Verlag, 2004.
*T. N. Shorey and R. Tijdeman, Exponetial Diophantine Equations, Cambridge Tracts in Mathematics, 87, Cambridge University Press, 1986.
<references />
 
== 関連項目 ==
*[[立方数]]
*[[平方数]]
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