「台形公式」の版間の差分

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Shunta suzuki (会話) による ID:43022603 の版を取り消し
(Σの添字k=1をk=0に、以降のa_kの値を修正)
(Shunta suzuki (会話) による ID:43022603 の版を取り消し)
[[数学]]において、'''台形公式'''(だいけいこうしき、''Trapezoidal rule'')もしくは'''台形則'''(だいけいそく)は[[積分|定積分]]を[[近似]]計算するための方法の 1つである。
 
具体的に言えば、求めたいx-yグラフのy=0を含む面積内に無数の[[台形]]を置くと、その台形の面積の集合和は本物の面積に限りなく近い値を求めるこが出来る。
 
 
 
:<math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx </math>
:<math>= \int_{a_0}^{a_1} f(x)\, dx + \int_{a_1}^{a_2} f(x)\, dx + \int_{a_2}^{a_3} f(x)\, dx </math> ・・・ <math>\int_{a_{n-1}}^{a_n} f(x)\, dx </math>
:<math>= \sum_{k=01}^{n} \int_{a_k}^{a_{k+-1}}^{a_k} f(x)\, dx \approx \sum_{k=01}^{n}(a_k-a_{k+-1}-a_k)\frac{f(a_{k+-1}) + f(a_k)}{2}</math>
 
 
さらに1[[区間 (数学)|区間]]の幅が <math> a_n - a_{n-1} = \frac{b-a}{n}</math> と、一定であるためになり
 
k番目は <math>a_k = a+k\frac{b-a}{n},(k=0\ldots n)</math> と置けることで
 
 
:<math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx \sum_{k=01}^{n}(b-a)\frac{f(a_{k+-1}) + f(a_k)}{2n}</math>
:<math>\frac{b-a}{2n}</math> は定数より
 
 
:<math> = \frac{b-a}{2n} \sum_{k=01}^{n}({f(a_{k+-1}) + f(a_k))}</math>
:<math> = \frac{b-a}{2n} \left(f(a_0) + 2f(a_1) + 2f(a_2)+\cdots+2f(a_{n-1}) + f(a_n) \right)</math>
:<math> = \frac{b-a}{n} \left\{ {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} f \left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right\}</math>
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