「台形公式」の版間の差分

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Σの添字k=1をk=0に、以降のa_kの値を修正
m (近似誤差の誤りを修正、補足。計算式の補足)
(Σの添字k=1をk=0に、以降のa_kの値を修正)
[[数学]]において、'''台形公式'''(だいけいこうしき、''Trapezoidal rule'')もしくは'''台形則'''(だいけいそく)は[[積分|定積分]]を[[近似]]計算するための方法の 1つである。
 
具体的に言えば、求めたいx-yグラフのy=0を含む面積内に無数の[[台形]]を置くと、その台形の面積の集合和は本物の面積に限りなく近い値を求めるこが出来る。
 
 
 
:<math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx </math>
:<math>= \int_{a_0}^{a_1} f(x)\, dx + \int_{a_1}^{a_2} f(x)\, dx + \int_{a_2}^{a_3} f(x)\, dx </math> ・・・ <math>\int_{a_{n-1}}^{a_n} f(x)\, dx </math>
:<math>= \sum_{k=10}^{n} \int_{a_k}^{a_{k-+1}}^{a_k} f(x)\, dx \approx \sum_{k=10}^{n}(a_k-a_{k-+1}-a_k)\frac{f(a_{k-+1}) + f(a_k)}{2}</math>
 
 
さらに1[[区間 (数学)|区間]]の幅が <math> a_n - a_{n-1} = \frac{b-a}{n}</math> と、一定になりであるため
 
k番目は <math>a_k = a+k\frac{b-a}{n},(k=0\ldots n)</math> と置けることで
 
 
:<math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx \approx \sum_{k=10}^{n}(b-a)\frac{f(a_{k-+1}) + f(a_k)}{2n}</math>
:<math>\frac{b-a}{2n}</math> は定数より
 
 
:<math> = \frac{b-a}{2n} \sum_{k=10}^{n}{(f(a_{k-+1}) + f(a_k)})</math>
:<math> = \frac{b-a}{2n} \left(f(a_0) + 2f(a_1) + 2f(a_2)+\cdots+2f(a_{n-1}) + f(a_n) \right)</math>
:<math> = \frac{b-a}{n} \left\{ {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} f \left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right\}</math>
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