「順序数」の版間の差分

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整列集合 (''A'', <) に対して、''A'' を[[写像|定義域]]とする[[写像|関数]] ''G'' を超限再帰によって
: ''G''(''a'') = { ''G''(''x'') | ''x'' < ''a'' }
と定義したとき、''G'' の[[写像|値域]] ran(''G'') を''' (''A'', &lt;) の順序数'''といい、これを onord(''A'', &lt;) で表す。ある整列集合の順序数であるような[[集合]]を'''順序数'''と呼ぶ<ref>順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という "同値関係" によって類別したとき、順序集合 (''A'', &lt;) の "同値類" を (''A'', &lt;) の'''順序型'''(order type)と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。ところが現代の標準的な集合論においては、''A'' が空集合でない限り (''A'', &lt;) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義(あるいはそれと同値な定義)が広く用いられている。だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。詳細は「[[順序型]]」を参照。</ref>。
 
===== 例 =====
&lt;<sub>&omega;</sub> は自然数の通常の大小関係(を各集合に制限したもの)を表すものとすると、
: onord(&empty;, &lt;<sub>&omega;</sub>) = &empty; = 0,
: onord({ 2 }, &lt;<sub>&omega;</sub>) = { &empty; } = { 0 } = 1,
: onord({ 2, 3 }, &lt;<sub>&omega;</sub>) = { &empty;, { &empty; } } = { 0, 1 } = 2,
: onord({ 2, 3, 5 }, &lt;<sub>&omega;</sub>) = { &empty;, { &empty; }, { &empty;, { &empty; } } } = { 0, 1, 2 } = 3 。
 
この例から推測されるように、一般に有限の整列集合 (''A'', &lt;) に対して onord(''A'', &lt;) は ''A'' の要素の個数に等しい。特に、任意の自然数 ''n'' に対して onord(''n'', &lt;<sub>&omega;</sub>) = ''n'' が成り立つので、自然数はすべて順序数である。
 
順序数に関して次が成り立つ:
# 整列集合 (''A'', &lt;<sub>''A''</sub>) と整列集合 (''B'', &lt;<sub>B</sub>) が[[同型]]のとき、またそのときに限り onord(''A'', &lt;<sub>''A''</sub>) = onord(''B'', &lt;<sub>B</sub>)。
# (''A'', &lt;) が有限整列集合のとき、onord(''A'', &lt;) は ''A'' の要素の個数に等しい。
# 整列集合 (''A'', &lt;) の順序数を &alpha; とし、&isin;<sub>&alpha;</sub> を &alpha; 上の所属関係とすると、(&alpha;, &isin;<sub>&alpha;</sub>) は (''A'', &lt;) と同型な整列集合である。
# &alpha; が順序数であることと、&alpha; が &isin; によって整列された[[推移的]]な集合であることは同値である。
: &alpha; &isin; &beta; または &alpha; = &beta; または &beta; &isin; &alpha; 。
そこで、&alpha; &isin; &beta; のとき &beta; は &alpha; より大きいといい、&alpha; &lt; &beta; と書く。この定義と順序数の要素はまた順序数であるという性質から、すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しいと言うことができる。&omega; より小さな順序数(すなわち自然数)を'''有限順序数'''と呼び、&omega; 以上の(すなわち &omega; と等しいか &omega; より大きい)順序数を'''超限順序数'''と呼ぶ。順序数の大小関係に関して次が成り立つ:
# 整列集合 (''A'', &lt;<sub>''A''</sub>) が整列集合 (''B'', &lt;<sub>B</sub>) のある始切片と同型のとき、またそのときに限り onord(''A'', &lt;<sub>''A''</sub>) &lt; onord(''B'', &lt;<sub>B</sub>)。
# 有限順序数の範囲では、上で定義された大小関係は通常の大小関係と一致する。
# &alpha; が順序数のとき、''S''(&alpha;) := &alpha; &cup; { &alpha; } は &alpha; より大きな順序数のうちで最小のものである。''S''(&alpha;) を '''&alpha; の後続者'''(successor of &alpha;)と呼ぶ
# ''O'' が順序数からなる集合のとき、<math>\bigcup</math> ''O'' もまた順序数であり、''O'' の[[最小上界]]となっている。そこで、<math>\bigcup</math> ''O'' を sup(''O'') とも書く。
# 順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する。
== 集合の濃度と基数 ==
集合 ''A'' から集合 ''B'' への[[全単射]]が存在するとき、''A'' と ''B'' は'''同数'''(equinumerous)であるといい、''A'' ≈ ''B'' で表す。
[[選択公理]]を仮定すれば、[[順序集合|整列定理]]により任意の集合 ''A'' に対して ''A'' と同数であるような順序数が存在することが言える。そこで、集合 ''A'' と同数であるような順序数の中で最小のものを''' ''A'' の濃度'''(the cardinality(cardinality of ''A'')といい、これを |''A''| あるいは card(''A'') で表す。ある集合 ''A'' に対して &alpha; = |''A''| である順序数 &alpha; を'''基数'''(cardinal number)と呼ぶ。集合の濃度に関して次が成り立つ:
# |''A''| = |''B''|  &hArr;  ''A'' ≈ ''B'' 。
# ''A'' が有限集合のとき、|''A''| は ''A'' の要素の個数に等しい。
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