自由群

自由群（じゆうぐん、free group）とは、元の間に二項関係がない群のことである。ただし、二つの元を取り出したとき、同じ元であるかどうか、および一方が他方の逆元であるかどうかの判断は判定できる。

構成

文字の集合 X = {x_λ} _λ∈Λ に対し、新たに文字の集合 X^-1 = {x_λ^-1} _λ∈Λ をつくり、Ω = X ∪ X^-1 とおく。 Ω に含まれる文字からなる長さ有限な文字列を、文字集合 Ω 上の語（ご、word）と呼ぶ。

Ω の二つの語 a = (a₁, a₂, ..., a_n), b = (b₁, b₂, ..., b_m) の積 ab を

ab = (a₁, a₂, ..., a_n, b₁, b₂, ..., b_m)

と定めると Ω の語の全体 W(Ω) は、空の語 () を単位元とするモノイドになる（自由モノイドあるいは空の語を特に考えないものを自由半群）。ある語 a の中に x ∈ X と x^-1 ∈ X^-1 が隣り合っている部分があるとき、この二つを取り除いて新たな語 b を作ることを a を簡約（かんやく、reduce, cancel）して b にするという。簡約できない語は既約（きやく、irreducible）であるという。語 a を簡約して得られる既約な語を a の簡約表示と呼び、ここでは I(a) と表すことにする。 W(Ω) における二項関係 ~ を簡約表示が一致すること、すなわち

a ~ b ⇔ I(a) = I(b)

で定めると、この関係 ~ は同値関係となる。語 a の属する同値類を [a] で表すことにする。

定義

上の記法のもとで、W(Ω) の同値類の集合 F(X) = W(Ω)/~ は積を [a][b] = [ab] により定義することにより、X で生成される群になる。 この群 F(X) を文字集合 X 上の自由群という。

普遍性

文字集合 X 上の自由群は自由群の普遍性 (universal property) と呼ばれる、以下の性質によって特徴付けられる。G を任意の群とし、f: X → G を任意の写像とすると、群の準同型

${\tilde {f}}:F(X)\to G$

で、その X への制限写像について

${\tilde {f}}(\mathbf {a} )=f(\mathbf {a} )$

が任意の a ∈ X に対して成立するようなものがただ一つ存在する。

自由群は、より一般の概念として圏論における自由対象 (free object) の一例である。多くの普遍的構造と同じく、それは一組の随伴関手を定める。

群の表示

任意の群はある自由群の剰余群になり、生成元と基本関係式で表示できる。