「スペクトル半径」の版間の差分

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(en:Spectral radius (03:07, 27 March 2009 UTC) を翻訳)
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[[数学]]における'''スペクトル半径'''(-はんけい、''spectral radius'')とは、複素正方[[行列]]ないし[[線形位相空間|有界線形作用素]]についての[[固有値]]の[[絶対値]]の[[最小上界]]のことある。ギリシャ文字[[ρ(・) と]]によって表記されることがおおい
 
==行列のスペクトル半径および諸性質==
''A'' ∈ M<sub>''n''</sub>'''C'''を複素正方行列、[[複素数]] λ<sub>1</sub>, ...,λ<sub>s</sub>([[実数]]ないし[[複素数]])行列 A∈'''C'''<sup>n&times;n</sup> の固有値とすると、''A''の'''スペクトル半径''' ρ(''A'') は以下のように定義される。
:<math>\rho(A) := \max_i(|\lambda_i|)</math>
以下の補題は、行列のスペクトル半径に対し、非常に単純で有用な上限を与えるものである。
 
より一般に、単位的バナッハ環の元 ''A''について、その'''スペクトル''' &sigma;(''A'') = { &lambda; &isin; '''C''' | &lambda; - ''A'' は可逆でない } に含まれる数の絶対値の上限 &rho;(''A'') が ''A'' のスペクトル半径と呼ばれる。
'''補題''': ''A'' ∈ '''C'''<sup>''n'' × ''n''</sup> を複素行列、ρ(''A'') をそのスペクトル半径、||·|| を [[行列ノルム|一貫性のある行列ノルム]] とすると、任意の ''k'' ∈ '''N''' に対し以下の式が成立する。
[[有界線形作用素]] ''A'' と[[作用素ノルム]] ||·|| に対し、次式がなりたつ([[#ノルムによる評価]]節を参照のこと)。
 
:<math>\rho(A) = \leqlim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k},\ \forall k \in \mathbb{N}.</math>
 
複素ヒルベルト空間上の有界作用素は、そのスペクトル半径が[[数域半径]]と一致する場合、'''spectraloid operator''' と呼ばれる。このような作用素の例としては、[[正規作用素]]がある。
''証明'': ('''v''', λ) を行列''A''の[[固有ベクトル]]-[[固有値]]の組とする。行列ノルムの sub-multiplicative 性から、次式を得る。
 
== 等比列の収束 ==
::<math>|\lambda|^k\|\mathbf{v}\| = \|\lambda^k \mathbf{v}\| = \|A^k \mathbf{v}\| \leq \|A^k\|\cdot\|\mathbf{v}\|</math>
スペクトル半径は行列の等比列の収束性と次のようにして密接に関係している。 ''A'' ∈ M<sub>''n''</sub>'''C''' を複素行列、ρ(''A'') をそのスペクトル半径とすると、
 
:<math>\lim_{k \to \infty}A^k=0</math> のとき、およびそのときに限り <math>\rho(A)<1.</math>である。
:ここで、'''v''' ≠ 0 であるので、任意の λ に対して次式を得る。
 
これは特に、任意の[[行列ノルム]] ||・|| について
:<math>|\lambda|^k\leq \|A^k\|</math>
* &rho;(''A'') < 1 ならば || ''A'' || &rarr; 0(ノルムの連続性により)
* &rho;(''A'') > 1 ならば || ''A'' || &rarr; &infin;(ノルムの同値性により)
ということを導く。
 
<math>\lim_{k \to \infty}A^k = 0</math>が&rho;(''A'') < 1 を導くことは以下のようにしてわかる。 ('''v''', λ) を行列''A''の[[固有ベクトル]]-[[固有値]]の組とすると、
:したがって、
 
:<math>\rho(A)^k\leqmathbf{v} = \|Alambda^k\|^mathbf{1/kv}\,\,\square</math>
 
であるから、
以下の定理が示すように、スペクトル半径は行列の等比数列の収束性と密接に関係している。
: <math>0 = (\lim_{k \to \infty}A^k)\mathbf{v}= \lim_{k \to \infty}A^k\mathbf{v}</math>
 
ここで、'''v''' ≠ 0 であることより、
'''定理''': ''A'' ∈ '''C'''<sup>''n'' × ''n''</sup> を複素行列、ρ(''A'') をそのスペクトル半径とすると、次式が成立する。
 
:<math>\lim_{k \to \infty}A\lambda^k = 0</math> if and only if <math>\rho(A)<1.</math>
 
でなければならないが、これは、|λ| < 1 であることを意味する。これがすべての固有値 λ に対して成立しなければならないから、ρ(''A'') < 1 と結論づけることができる。
さらに、ρ(''A'')>1 の場合は、<math>\|A^k\|</math> は k の増加に対して有界でない。
 
一方、&rho;(''A'') < 1 が<math>\lim_{k \to \infty}A^k = 0</math>を導くことは以下のようにしてわかる。[[ジョルダン標準形]]の理論から、任意の複素行列 ''A'' ∈ M<sub>''n''</sub>'''C''' について、互いに可換な半単純行列 ''S'' とベキ零行列 ''N'' があって、''A'' = ''S'' + ''N'' 、&rho;(''A'') = &rho;(''S'') が成立している。 ''K'' を''N''<sup>''K''</sup> = 0 であるような自然数とすれば、任意の自然数 ''k'' について
''証明'':
: <math>A^k = S^k + k S^{k-1}N + \binom{k}{2} S^{k-2}N^2 + \cdots + \binom{k}{K-1} S^{k-K+1}N^{K-1}</math>
が成り立っている。&rho;(''S'')が1より小さいため任意の ''j'' について
: <math> \binom{k}{j} S^{k-j} \rightarrow 0 \quad (k \rightarrow \infty) </math>
であり、したがって上式右辺の有限和の各項は 0 に収束している。
 
=== ノルムによる評価 ===
(<math>\lim_{k \to \infty}A^k = 0 \Rightarrow \rho(A) < 1</math>)
妥当な条件を満たす行列ノルムは以下のようにして、スペクトル半径に単純で有用な上限を与えている:任意の行列ノルム ||·|| に関して、次式が成立する (Gelfand, 1941)。
 
: ('''v''', λ) を行列''A''の[[固有ベクトル]]-[[固有値]]の組とすると、
 
::<math>A^k\mathbf{v} = \lambda^k\mathbf{v},</math>
 
:であるから、以下の式を得る。
 
::{|
|-
|<math>0\,</math>
|<math>= (\lim_{k \to \infty}A^k)\mathbf{v}</math>
|-
|
|<math>= \lim_{k \to \infty}A^k\mathbf{v}</math>
|-
|
|<math>= \lim_{k \to \infty}\lambda^k\mathbf{v}</math>
|-
|
|<math>= \mathbf{v}\lim_{k \to \infty}\lambda^k</math>
|}
 
:また、'''v''' ≠ 0 の仮定から、次式を得る。
 
::<math>\lim_{k \to \infty}\lambda^k = 0</math>
 
:これは、|λ| < 1 であることを意味する。これはすべての固有値 λ に対して成立しなければならないから、ρ(''A'') < 1 と結論づけることができる。
 
(<math>\rho(A)<1 \Rightarrow \lim_{k \to \infty}A^k = 0</math>)
 
:[[ジョルダン標準形]]の定理から、任意の複素行列 ''A'' ∈ '''C'''<sup>''n'' × ''n''</sup> に対し、[[正則行列|非特異行列]] ''V'' ∈ '''C'''<sup>''n'' × ''n''</sup> と ブロック対角行列が ''J'' ∈ '''C'''<sup>''n'' × ''n''</sup> が存在して、次式を満たすことが知られている。
 
::<math>A = VJV^{-1}</math>
 
:ただし、
 
::<math>J=\begin{bmatrix}
J_{m_1}(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_{m_2}(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}(\lambda_{s-1}) & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}(\lambda_s)
\end{bmatrix}</math>
 
::<math>J_{m_i}(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
\lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_i & 1 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i
\end{bmatrix}\in \mathbb{C}^{m_i,m_i}, 1\leq i\leq s.</math>
 
:自然に、以下の式が得られる。
 
::<math>A^k=VJ^kV^{-1}</math>
 
:また、''J'' はブロック対角行列であるので、
 
::<math>J^k=\begin{bmatrix}
J_{m_1}^k(\lambda_1) & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & J_{m_2}^k(\lambda_2) & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \cdots & \ddots & \cdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & J_{m_{s-1}}^k(\lambda_{s-1}) & 0 \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & J_{m_s}^k(\lambda_s)
\end{bmatrix}</math>
 
:今、''m''<sub>''i''</sub> × ''m''<sub>''i''</sub> のジョルダン細胞の k 乗に対する標準的な結果から、''k'' ≥ ''m''<sub>''i'' − 1</sub> に対して次のように述べることができる。
 
::<math>J_{m_i}^k(\lambda_i)=\begin{bmatrix}
\lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & {k \choose 2}\lambda_i^{k-2} & \cdots & {k \choose m_i-1}\lambda_i^{k-m_i+1} \\
0 & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} & \cdots & {k \choose m_i-2}\lambda_i^{k-m_i+2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \lambda_i^k & {k \choose 1}\lambda_i^{k-1} \\
0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda_i^k
\end{bmatrix}</math>
 
:したがって、if ρ(''A'') < 1 の場合、|λ<sub>''i''</sub>| < 1 ∀ ''i'' である。すなわち、
 
::<math>\lim_{k \to \infty}J_{m_i}^k=0\ \forall i</math>
 
:これは、次のことを意味する。
 
::<math>\lim_{k \to \infty}J^k = 0.</math>
 
:したがって、
 
::<math>\lim_{k \to \infty}A^k=\lim_{k \to \infty}VJ^kV^{-1}=V(\lim_{k \to \infty}J^k)V^{-1}=0</math>
 
一方、ρ(''A'')>1 の場合は、少なくとも ''J'' のうち一つの要素は k の増加に対して有界でない。したがって、定理の後半が証明される。
 
::<math>\square</math>
 
==定理(Gelfand の公式、1941年)==
任意の[[行列ノルム]] ||·|| に関して、次式が成立する。
 
:<math>\rho(A)=\lim_{k \to \infty}||A^k||^{1/k}.</math>
 
この定理は以下のようにして示される。 ε > 0 を任意の正の実数とする。このとき、
換言すれば、Gelfand の公式は、''A''<sup>''k''</sup> のノルムの増加率が ''A'' のスペクトル半径に漸近することを示している。
 
: <math>\|tilde{A^k\|\sim}=(\rho(A)+\epsilon)^k</math> for <math>k\rightarrow \infty{-1}A.\,</math>
 
について
''証明'': 任意の ε > 0 に対し、次のような行列を考える。
 
::<math>\rho(\tilde{A}) = \frac{\rho(A)}{\rho(A)+\epsilon)^{-1}A. < 1</math>
 
だから、[[#等比列の収束]]により、
:すると、当然
 
::<math>\rho(\tildelim_{A})k =\to \frac{infty}\rho(A)}tilde{\rho(A)+\epsilon} < 1^k=0</math>
 
が成り立っている。したがって、ある自然数 ''N''<sub>1</sub> ∈ '''N''' が存在して、
:である。先の定理から、
 
::<math>\lim_{forall k\geq N_1 \toRightarrow \infty}|\tilde{A}^k=0.\| < 1</math>
 
が成り立つ。これは
:これは、数列の極限の定理から、ある自然数 ''N<sub>1</sub>'' ∈ '''N''' が存在して、次式を満たすことを示している。
 
::<math>\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|\tilde{A}^k\|^{1/k} < 1(\rho(A)+\epsilon).</math>
 
ということを示している。同様にして
:すなわち、
::<math>\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|A^k\| < (\rho(A)+\epsilon)^k</math>
 
:<math> \check{A} = \frac{A}{\rho(A) - \epsilon}</math>
:または、
 
を考えることにより、ある自然数 ''N''<sub>1</sub> ∈ '''N''' が存在して、
::<math>\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|A^k\|^{1/k} < (\rho(A)+\epsilon).</math>
 
:<math>\forall k\geq N_1 \Rightarrow \|\check{A}^k\| > 1</math>
:である。ここで、次の行列を考える。
 
がわかる。以上のことから
::<math>\check{A}=(\rho(A)-\epsilon)^{-1}A.</math>
 
:<math>\forall \epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}: \forall k\geq N \Rightarrow \rho(A) - \epsilon< \|A^k\|^{1/k} < \rho(A)+\epsilon</math>
:すると、当然、
 
が言えるが、これは
::<math>\rho(\check{A}) = \frac{\rho(A)}{\rho(A)-\epsilon} > 1</math>
 
:<math>\lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k} = \rho(A)</math>
:また、先の定理より、<math>\|\check{A}^k\|</math> は有界でない。
ということを表している。
 
さらに||·|| が [[行列ノルム|一貫性]]を持つ場合には、任意の複素行列 ''A'' ∈ M<sub>''n''</sub>'''C''' と ''k'' ∈ '''N''' に対し
:これは、自然数 ''N<sub>2</sub>'' ∈ '''N''' が存在して、次式を満たすことを意味する。
 
::<math>\forall krho(A)\geq N_2 \Rightarrowleq \|\check{A}^k\| > ^{1/k}</math>
 
が成立している。これは以下のようにして示すことができる。''A''の[[固有ベクトル]]'''v''' と対応する[[固有値]]λについて、行列ノルムの一貫性から次式を得る。
:すなわち、
 
::<math>|\forall lambda|^k\geq|\mathbf{v}\| N_2= \Rightarrow|\lambda^k \mathbf{v}\| = \|A^k \mathbf{v}\| >\leq (\rho(|A)-\epsilon)^k\|\cdot\|\mathbf{v}\|</math>
 
ここで、'''v''' ≠ 0 であるので、任意の固有値 λ に対して次式を得る。
:または、
 
::<math>|\forall lambda|^k\geq N_2 \Rightarrowleq \|A^k\|^{1/k} > (\rho(A)-\epsilon).</math>
 
したがって、
:である。ここで、
 
::<math>N:=max\rho(N_1,N_2A)\leq \|A^k\|^{1/k}</math>
 
が成立する。
:とすると、以上のことから、次式を得る。
 
::<math>\forall \epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}: \forall k\geq N \Rightarrow \rho(A)-\epsilon < \|A^k\|^{1/k} < \rho(A)+\epsilon</math>
 
:したがって、定義より、
 
::<math>\lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k} = \rho(A).\,\,\square</math>
 
Gelfand の公式は、有限個の行列の積のスペクトル半径に対しても考えることができる。すべての行列が可換であると仮定すると、次式を得る。
</math>
 
== 例 ==
実際、ノルムが[[行列ノルム|一貫性]]を持つ場合、この証明は命題より多くの事実を含む。先の命題を用いて、左辺の下限をスペクトル半径自体に置き換えることで、より正確に以下の式を書くことができる。
 
::<math>\forall \epsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}: \forall k\geq N \Rightarrow \rho(A) \leq \|A^k\|^{1/k} < \rho(A)+\epsilon</math>
 
:定義より、
:<math>\lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k} = \rho(A)^+.</math>
 
'''例''': 次の行列を考える。
:<math>A=\begin{bmatrix}
\end{bmatrix}</math>
 
この固有値は 5, 10, 10 であるから、定義より、スペクトル半径は ρ(''A'')=10 である。以下の表には、最も良く用いベクトルの ''p''-ノルムか誘導さる 4 つた行列作用素ノルムおよびヒルベルト-シュミットノルム(フロベニウスノルム)する <math>\|A^k\|^{1/k}</math> の、k の増加に対する値が記載列挙されている(この行列は正方行列であるで、場合には<math>\|.A^k\|_1=\|.A^k\|_\infty</math> であるこに注意されたなって)。
 
{| class="wikitable"
<table border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" width="756">
|+ <math>\| A^k \|^{1/k} </math>
<tr>
<td>! k </td><td>!! <math>\|.\|_1=\|.\|_\infty</math> </td><td>!! <math>\|.\|_F</math> </td><td>!! <math>\|.\|_2</math> </td>
|-
</tr>
!1
<tr>
|14
<td>&nbsp;</td>
||15.362291496
</tr>
||10.681145748
<tr>
|-
<td>1</td>
!2
<td>14</td>
|12.649110641
<td>15.362291496</td>
||12.328294348
<td>10.681145748</td>
||10.595665162
</tr>
|-
<tr>
!3
<td>2</td>
|11.934831919
<td>12.649110641</td>
||11.532450664
<td>12.328294348</td>
||10.500980846
<td>10.595665162</td>
|-
</tr>
!4
<tr>
|11.501633169
<td>3</td>
||11.151002986
<td>11.934831919</td>
||10.418165779
<td>11.532450664</td>
|-
<td>10.500980846</td>
!5
</tr>
|11.216043151
<tr>
||10.921242235
<td>4</td>
||10.351918183
<td>11.501633169</td>
|-
<td>11.151002986</td>
!<math>\vdots</math>
<td>10.418165779</td>
|<math>\vdots</math>
</tr>
||<math>\vdots</math>
<tr>
||<tdmath>5\vdots</tdmath>
|-
<td>11.216043151</td>
!10
<td>10.921242235</td>
|10.604944422
<td>10.351918183</td>
||10.455910430
</tr>
||10.183690042
<tr>
|-
<td><math>\vdots</math></td>
!11
<td><math>\vdots</math></td>
|10.548677680
<td><math>\vdots</math></td>
||10.413702213
<td><math>\vdots</math></td>
||10.166990229
</tr>
|-
<tr>
!12
<td>10</td>
|10.501921835
<td>10.604944422</td>
||10.378620930
<td>10.455910430</td>
||10.153031596
<td>10.183690042</td>
|-
</tr>
!<math>\vdots</math>
<tr>
|<tdmath>11\vdots</tdmath>
||<math>\vdots</math>
<td>10.548677680</td>
||<math>\vdots</math>
<td>10.413702213</td>
|-
<td>10.166990229</td>
!20
</tr>
|10.298254399
<tr>
||10.225504447
<td>12</td>
||10.091577411
<td>10.501921835</td>
|-
<td>10.378620930</td>
!30
<td>10.153031596</td>
|10.197860892
</tr>
||10.149776921
<tr>
||10.060958900
<td><math>\vdots</math></td>
|-
<td><math>\vdots</math></td>
!40
<td><math>\vdots</math></td>
|10.148031640
<td><math>\vdots</math></td>
||10.112123681
</tr>
||10.045684426
<tr>
|-
<td>20</td>
!50
<td>10.298254399</td>
|10.118251035
<td>10.225504447</td>
||10.089598820
<td>10.091577411</td>
||10.036530875
</tr>
|-
<tr>
!<tdmath>30\vdots</tdmath>
|<math>\vdots</math>
<td>10.197860892</td>
||<math>\vdots</math>
<td>10.149776921</td>
||<math>\vdots</math>
<td>10.060958900</td>
|-
</tr>
!100
<tr>
|10.058951752
<td>40</td>
||10.044699508
<td>10.148031640</td>
||10.018248786
<td>10.112123681</td>
|-
<td>10.045684426</td>
!200
</tr>
|10.029432562
<tr>
||10.022324834
<td>50</td>
||10.009120234
<td>10.118251035</td>
|-
<td>10.089598820</td>
!300
<td>10.036530875</td>
|10.019612095
</tr>
||10.014877690
<tr>
||10.006079232
<td><math>\vdots</math></td>
|-
<td><math>\vdots</math></td>
!400
<td><math>\vdots</math></td>
|10.014705469
<td><math>\vdots</math></td>
||10.011156194
</tr>
||10.004559078
<tr>
|-
<td>100</td>
!<math>\vdots</math>
<td>10.058951752</td>
|<math>\vdots</math>
<td>10.044699508</td>
||<math>\vdots</math>
<td>10.018248786</td>
||<math>\vdots</math>
</tr>
|-
<tr>
!1000
<td>200</td>
|10.005879594
<td>10.029432562</td>
||10.004460985
<td>10.022324834</td>
||10.001823382
<td>10.009120234</td>
|-
</tr>
!2000
<tr>
|10.002939365
<td>300</td>
||10.002230244
<td>10.019612095</td>
||10.000911649
<td>10.014877690</td>
|-
<td>10.006079232</td>
!3000
</tr>
|10.001959481
<tr>
||10.001486774
<td>400</td>
||10.000607757
<td>10.014705469</td>
|-
<td>10.011156194</td>
!<math>\vdots</math>
<td>10.004559078</td>
|<math>\vdots</math>
</tr>
||<math>\vdots</math>
<tr>
<td>||<math>\vdots</math></td>
|-
<td><math>\vdots</math></td>
!10000
<td><math>\vdots</math></td>
|10.000587804
<td><math>\vdots</math></td>
||10.000446009
</tr>
||10.000182323
<tr>
|-
<td>1000</td>
!20000
<td>10.005879594</td>
|10.000293898
<td>10.004460985</td>
||10.000223002
<td>10.001823382</td>
||10.000091161
</tr>
|-
<tr>
!30000
<td>2000</td>
|10.000195931
<td>10.002939365</td>
||10.000148667
<td>10.002230244</td>
||10.000060774
<td>10.000911649</td>
|-
</tr>
!<math>\vdots</math>
<tr>
|<tdmath>3000\vdots</tdmath>
||<math>\vdots</math>
<td>10.001959481</td>
||<math>\vdots</math>
<td>10.001486774</td>
|-
<td>10.000607757</td>
!100000
</tr>
|10.000058779
<tr>
||10.000044600
<td><math>\vdots</math></td>
||10.000018232
<td><math>\vdots</math></td>
|}
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
</tr>
<tr>
<td>10000</td>
<td>10.000587804</td>
<td>10.000446009</td>
<td>10.000182323</td>
</tr>
<tr>
<td>20000</td>
<td>10.000293898</td>
<td>10.000223002</td>
<td>10.000091161</td>
</tr>
<tr>
<td>30000</td>
<td>10.000195931</td>
<td>10.000148667</td>
<td>10.000060774</td>
</tr>
<tr>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
<td><math>\vdots</math></td>
</tr>
<tr>
<td>100000</td>
<td>10.000058779</td>
<td>10.000044600</td>
<td>10.000018232 </td>
</tr>
</table>
 
== 有界線形作用素のスペクトル半径 ==
[[有界線形作用素]] ''A'' と[[作用素ノルム]] ||·|| に対し、再び次式を定義する。
 
:<math>\rho(A) = \lim_{k \to \infty}\|A^k\|^{1/k}.</math>
 
(複素ヒルベルト空間上の)有界作用素は、そのスペクトル半径が[[数域半径]]と一致する場合、'''spectraloid operator''' と呼ばれる。このような作用素の例としては、[[正規作用素]]がある。
 
==グラフのスペクトル半径==
 
==関連記事==
* [[作用素環論]]
* [[スペクトルギャップ]]([[w:Spectral Gap]])
* [[バナッハ空間]]
 
==外部リンク 参考文献 ==
* {{cite book|title=Analysis Now|author=Gert K. Pedersen|publisher=Springer|id=ISBN 978-0387967882|year=2001|edition=Corrected ed.|series=Graduate Texts in Mathematics}}
* [http://people.csse.uwa.edu.au/gordon/planareig.html Spectral Radius of Planar Graphs](英語)
* {{cite book|title=Banach Algebra Techniques in Operator Theory|author=Ronald G. Douglas|publisher=Springer|year=1998|id=ISBN 978-0387983776|series=Graduate Texts in Mathematics}}
 
{{DEFAULTSORT:すぺくとるはんけい}}
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