コーシーの冪根判定法

コーシーの収束判定法(―のしゅうそくはんていほう、root test) とは、無限級数の収束性を判定する方法である。とりわけ、冪級数に関連することに有用である。「コーシーの収束判定法」という名前は、これを最初に発見したオーギュスタン＝ルイ・コーシーに由来する。

$C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$

（"lim sup" は上極限を意味する）とするとき、C < 1 であれば級数は収束し、C > 1 であれば発散する。C = 1 ならば、この判定法ではどちらとも言えない。もし、級数の項が c を中心とする冪級数

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}$

の係数であれば、この冪級数の収束半径は 1/C である。これは、0 の逆数として考えた ∞ も含む。

証明

証明は、比較判定法を利用したものである。もし、全ての $n\geq N$ に対し ${\sqrt[{n}]{a_{n}}}<k<1$ ならば、$a_{n}<k^{n}<1$ が成立する。比較判定法より、幾何級数 $\sum _{i=N}^{\infty }k^{i}$ が収束すれば、$\sum _{i=N}^{\infty }a_{n}$ もまた収束する。

もし、${\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1$ ならば、$\sum _{i=N}^{\infty }1$ と比較して級数は発散する。a_n が非正である場合の絶対収束性は、${\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}$ を用いれば同様にして証明できる。

関連記事

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• 収束半径

参考文献

• Knopp, Konrad (1956). “§ 3.2”. Infinite Sequences and Series. Dover publications, Inc., New York. ISBN 0486601536 
• Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963). “§ 2.35”. A Course in Modern Analysis (fourth edition ed.). Cambridge University Press. ISBN 0521588073 

この記事は、GFDLライセンスに基づくPlanetMathの記事、Proof of Cauchy's root test を資料として取り入れています。