六角数

六角数（ろっかくすう、hexagonal number）とは多角数で、正六角形の形に点を下図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる自然数である。六角数は無数にあり、そのなかでは1が最も小さい。4で割ると1余る整数を1から小さい順に足した数と定義してもよい。例：6(=1+5)、15(=1+5+9)、120(=1+5+9+13+17+21+25+29)

1		6		15		28

n番目の六角数を H_n とすると上図より

H₁ = 1 , H_n+1 = H_n + 4n + 1

が導かれる。よって六角数の式は

$H_{n}=H_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}(4k+1)=n(2n-1)\quad (n\geq 2)$

これはn=1のときも成り立つ。六角数を小さいものから順に列記すると 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946,…　となる。

n番目の六角数は2n-1番目（すなわち奇数番目）の三角数に等しい。ゆえに全ての六角数は三角数でもある。

また偶数の完全数は全て奇数番目の三角数でもあるので、知られている完全数は全て六角数でもある。

六角数は1から順に奇数と偶数が交互に現れる。また1以外の六角数は全て合成数である。

全ての自然数は高々6つの六角数の和で表わすことができる（→多角数定理）。 ただし1791よりも大きな自然数は4つの六角数の和で表わすことができ、十分に大きい自然数は3つの六角数の和で表わすことができる。6つの六角数が必要な数は11と26の二つのみで次のような和の形で表わされる。11=1+1+1+1+1+6 、26=1+1+6+6+6+6

六角数の逆数の総和は

${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(2n-1)}}&=2\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}\right)\\&=2\left(\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \right)\\&=2\ln {2}\\&\approx {1.386294}\cdots \\\end{aligned}}$

関連項目

• 多角数
• 三角数