普遍係数定理

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普遍係数定理（ふへんけいすうていり、英: universal coefficient theorems）とは、単項イデアル整域R上定義されたホモロジーやコホモロジーから、R-加群を係数とするホモロジーやコホモロジーを求める一連の定理の総称である。

定理はR-加群として自由な任意のチェイン複体に対して成立し、したがって特に特異ホモロジー・コホモロジーのような位相幾何学的な背景を持つホモロジー・コホモロジーに対して成立する。

準備

本節では普遍係数定理を述べる準備として、チェイン複体とそのホモロジー、コチェイン複体とそのコホモロジーを復習し、さらに普遍係数定理を定式化するのに必要な概念であるTor関手、Ext関手を定義する。

ホモロジー

Rを可換環とするとき、整数nを添え字として持つR-加群$C_{n}$と写像$\partial _{n}~:~C_{n}\to C_{n-1}$の組$C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }$で、

$\partial _{n-1}\circ \partial _{n}=0$

となるものR上のチェイン複体といい、

$H_{n}(C_{*}):=\mathrm {Ker} (\partial _{n})/\mathrm {Im} (\partial _{n+1})$

を$C_{*}$のn次のホモロジー加群という。

コホモロジー

可換環Rに対し、$C^{*}=(C^{n},\delta ^{n})_{n\in \mathbb {Z} }$で$D_{*}:=(C^{-n},\delta ^{-n})_{n\in \mathbb {Z} }$がR上のチェイン複体になるものをコチェイン複体といい、

$H^{n}(C^{*}):=H_{n}(D_{*})$

を$C^{*}$のn次のコホモロジー加群という。

Tor関手

詳細は「Tor関手」を参照

Rを単項イデアル整域とし、M、NをR-加群とする。さらに短完全系列

$0\longrightarrow A{\overset {\iota }{\longrightarrow }}B{\overset {p}{\longrightarrow }}M\to 0$

でA、Bが自由R-加群であるものを選び、

$0\longrightarrow A\otimes _{R}N{\overset {\iota \otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}B\otimes _{R}N{\overset {p\otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}M\otimes _{R}N\longrightarrow 0$

を考えると必ずしも完全系列にならない。そこで

$\mathrm {Tor} _{R}(M,N):=\mathrm {Ker} (\iota \otimes _{R}1_{N})$

と定義する。$\mathrm {Tor} _{R}(M,N)$の定義はA、Bの取り方に依存しているが、実はA、Bを別のものに取り替えて定義した$\mathrm {Tor} _{R}(M,N)$と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである。

$\mathrm {Tor} _{R}(\cdot ,\cdot )$の事をTor関手という。

なお、Rが単項イデアル整域とは限らない一般の環の場合にもTorが定義できるが本項では割愛する。また$\mathrm {Tor} _{R}(M,N)$の事を$\mathrm {Tor} _{R}^{1}(M,N)$と表記し、より一般に$\mathrm {Tor} _{R}^{n}(M,N)$（n≧0）を定義する場合もあるが、これも本項では割愛する。これらに関する詳細はTor関手の項目を参照されたい。

Tor関手は以下の性質を満たす。

命題 ―  Rを単項イデアル整域、M、NをR-加群とするとき、次が成立する：

1. $\mathrm {Tor} _{R}(M,N)\approx \mathrm {Tor} _{R}(N,M)$。
2. $\mathrm {Tor} _{R}(\oplus _{\lambda \in \Lambda }M_{\lambda },N)\approx \oplus _{\lambda \in \Lambda }\mathrm {Tor} _{R}(M_{\lambda },N)$。ここで「$\oplus$」はR-加群としての直和を表す。
3. Mが自由R-加群なら$\mathrm {Tor} _{R}(M,N)=0$
4. $\mathrm {Tor} _{R}(R/(x),N)\approx \{u\in N\mid xu=0\}$
5. $\mathrm {Tor} _{R}(R/(x),R/(y))\approx R/(\mathrm {gcd} (x,y))$、ここでgcd(x,y)はxとyの最大公約元である。
6. Kを標数0の体とするとき、任意の有限生成R-加群Mに対し、$\mathrm {Tor} _{R}(M,K)=0$

証明

1., 2.の証明は出典を参照。3.に関してはMが自由R-加群であれば、

$0\to 0{\overset {\iota }{\to }}M{\overset {p}{\to }}M\to 0$

という分解が可能なので、$\mathrm {Tor} _{R}(M,N)=\mathrm {Ker} (\iota \otimes _{R}1_{N})=0$である。

4.に関してはx倍する演算を「$x\cdot$」と書くと、

$0\to R{\overset {x\cdot }{\to }}R{\overset {p}{\to }}R/(x)\to 0$

という分解が可能であり、$R\oplus _{R}N\approx N$なので、

$N{\overset {x\cdot \otimes _{R}1_{N}}{\to }}N{\overset {p\otimes 1_{N}}{\to }}R/(x)\otimes _{R}N\to 0$

である。よって$\mathrm {Tor} _{R}(M,N)=\mathrm {Ker} (x\cdot \otimes _{R}1_{N})=\{u\in N\mid xu=0\}$である。

5.に関しては4.から直接従う。6.に関しては、Mが有限生成なので、有限生成加群の基本定理より、RⁿとR/(x_i)の直和で書ける。よって1.により、$\mathrm {Tor} _{R}(M,N)$は$\mathrm {Tor} _{R}(R^{n},N)$と$\mathrm {Tor} _{R}(R/(x_{i}),N)$の直和で書けるが、前者は3.より0に等しく、後者も4.により0に等しい。

Rが単項イデアル整域であるので、M、Nが有限生成である場合、有限生成加群の基本定理から、MはRⁿと複数のR/(x_i)の直和で書け、Nも同様である。上述の1., 2.からTor_Rは直和に関して分解できるので、上述の3., 5.を使うと、これらに対するTor_Rを容易に計算できる。

Ext関手

詳細は「Ext関手」を参照

Torのときと同様、Rを単項イデアル整域とし、M、NをR-加群とし、さらに短完全系列

$0\longrightarrow A{\overset {\iota }{\longrightarrow }}B{\overset {p}{\longrightarrow }}M\to 0$

でA、Bが自由R-加群であるものを選ぶ。そして

$0\longrightarrow \mathrm {Hom} _{R}(M,N){\overset {p^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(B,N){\overset {\iota ^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(A)\to 0$

を考えると必ずしも完全系列にはならない。そこで

$\mathrm {Ext} _{R}(M,N):=\mathrm {Coker} _{R}(\iota ^{*})$

と定義する。ここでCokerは余核である。すなわち、$f~:~X\to Y$に対し、$\mathrm {Coker} (f)=Y/\mathrm {Im} (f)$である。

$\mathrm {Ext} _{R}(M,N)$の定義はA、Bの取り方に依存しているが、実はA、Bを別のものに取り替えて定義した$\mathrm {Ext} _{R}(M,N)$と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである。

$\mathrm {Ext} _{R}(\cdot ,\cdot )$の事をExt関手という。

また$\mathrm {Ext} _{R}(M,N)$に関しても$\mathrm {Tor} _{R}(M,N)$と同様、Rが一般の環の場合に対しても定義できるし、$\mathrm {Ext} _{R}^{n}(M,N)$が定義できて$\mathrm {Ext} _{R}(M,N)=\mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,N)$であるが、本項では説明を割愛する。詳細はExt関手の項目を参照されたい。

Ext関手は以下を満たす：

命題 ―  Rを単項イデアル整域、M、NをR-加群とするとき、次が成立する：

1. $\mathrm {Ext} (\oplus _{\lambda \in \Lambda }M_{\lambda },N)=\oplus _{\lambda \in \Lambda }\mathrm {Ext} (M_{\lambda },N)$。ここで「$\oplus$」はR-加群としての直和である。
2. $\mathrm {Ext} (M,\textstyle \prod _{\lambda \in \Lambda }N_{\lambda })=\textstyle \prod _{\lambda \in \Lambda }\mathrm {Ext} (M,N_{\lambda })$。ここで「$\textstyle \prod$」はR-加群としての直積である。
3. Mが自由R-加群なら$\mathrm {Ext} (M,N)=0$
4. $\mathrm {Ext} _{R}(R/(x),N)\approx \{u\in N\mid xu=0\}$
5. $\mathrm {Ext} _{R}(R/(x),R/(y))\approx R/(\mathrm {gcd} (x,y))$、ここでgcd(x,y)はxとyの最大公約元である。
6. Kを標数0の体とするとき、任意の有限生成R-加群Mに対し、$\mathrm {Ext} _{R}(M,K)=0$

証明

1.、2.に関しては出典を参照。3.に関してはMが自由R-加群であれば、

$0\to 0{\overset {\iota }{\to }}M{\overset {p}{\to }}M\to 0$

という分解が可能なので、$\mathrm {Ext} (M,N)=\mathrm {Coker} (\iota ^{*})=0$である。

4.に関しては、x倍する演算を「$x\cdot$」と書くと、

$0\to R{\overset {x\cdot }{\to }}R{\overset {p}{\to }}R/(x)\to 0$

という分解が可能であり、

$0\to \mathrm {Hom} (R/(x),N){\overset {p}{\to }}\mathrm {Hom} (R,N){\overset {(x\cdot )^{*}}{\to }}\mathrm {Hom} (R,N)\to 0$

である。 ここで$\varphi \in \mathrm {Hom} (R,N)$に対し、$(x\cdot )^{*}(\varphi )(u)=\varphi (xu)=x\varphi (u)$である。 しかも$\varphi \in \mathrm {Hom} (R,N)$は$1\in R$の行き先により全ての$u\in R$の行き先が決まるので、$\mathrm {Hom} (R,N){\overset {\sim }{\to }}N,\varphi \mapsto \varphi (1)$である。よって$\mathrm {Ext} _{R}(R/(x),N)\approx \{u\in N\mid xu=0\}$である。

5.は4.から直接従う。6.に関しては、Mが有限生成なので、有限生成加群の基本定理より、RⁿとR/(x_i)の直和で書ける。よって1.により、$\mathrm {Ext} _{R}(M,N)$は$\mathrm {Ext} _{R}(R^{n},N)$と$\mathrm {Ext} _{R}(R/(x_{i}),N)$の直和で書けるが、前者は3.より0に等しく、後者も4.により0に等しい。

Tor_Rの場合と同様、Mが有限生成R-加群であれば、これらの性質からExt_Rを具体的に計算できる。

Torに関する普遍係数定理

ホモロジーの場合

次の定理が成立することが知られている：

定理 (Torに関する普遍係数定理) ―  Rを単項イデアル整域とし、MをR-加群とし、さらに$C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }$をR上のチェイン複体で、各nに対し$C_{n}$がR-加群として自由なものとする。このとき

$0\to H_{n}(C_{*})\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H_{n}(C_{*}\otimes M){\overset {\beta }{\to }}\operatorname {Tor} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),M)\to 0$

が短完全系列となるβが存在する。

しかもこの短完全系列は$C_{*}$およびMに関して自然である。さらにこの短完全系列は（自然ではなく）分裂する。

上記の定理でαは$[c]\in H_{n}(C_{*})\otimes _{R}M\otimes _{R}m\mapsto [c\otimes _{R}m]\in H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)$という写像である。

なお、係数環 Rが$\mathbb {Z}$でMが$\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$の場合は、上記の定理はボックシュタイン・スペクトル系列の特別な場合に相当する。

$R=\mathbb {Z}$で各$H_{n}(C_{*})$が有限生成加群である場合はホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、$H_{n}(C_{*})$は自由加群部分F_nと素数pに対する$T_{n,p}=\{x\in H_{n}(C_{*})\mid \exists m>0~:~p^{m}x=0\}$の和で書ける。（有限個の素数pを除いて$T_{n,p}=0$である）。ここで前述したTorの性質を利用すると、以下がわかる：

命題 ― 上記の設定のもと：

$H_{n}(C_{*}\otimes M)\approx H_{n}(C_{*})\otimes M\oplus \operatorname {Tor} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),M)\approx {\begin{cases}\mathbb {Z} _{p}{}^{\mathrm {rank} (F_{n})+\mathrm {rank} (T_{n-1,p}\otimes \mathbb {Z} _{p})}&{\text{if }}M=\mathbb {Z} _{p}\\M^{\mathrm {rank} (F_{n})}&{\text{if }}M=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} \end{cases}}$

コホモロジーの場合

チェイン複体とコチェイン複体は添字の向きが違うだけなので、コチェイン複体に関しても同様の事実が従う：

定理 ―  R、Mを上述の定理と同様に取り、$C^{*}$を任意のコチェイン複体とすると、

$0\to H^{n}(C^{*})\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H^{n}(C^{*}\otimes _{R}M){\overset {\beta }{\to }}\operatorname {Tor} _{R}(H^{n+1}(C^{*}),M)\to 0$

が短完全系列となるβが存在する。

この短完全系列が$C^{*}$、Mに関して自然である事や分裂する事も前述の定理と同様である。

また$R=\mathbb {Z}$で各$H^{n}(C_{*})$が有限生成加群である場合は、ホモロジー場合と同様の形で具体的に書ける。

M係数のホモロジー・コホモロジーに対する普遍係数定理

上述のコチェイン複体関する普遍係数定理をMを係数に持つコホモロジー（例えばMを係数にもつ特異コホモロジー）に適用する場合は注意が必要である。

定義

これまで同様Rが単項イデアル整域とし、MをR-加群する。R上のチェイン複体$C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }$に対し、

$\partial _{n}{}^{*}~:~\mathrm {Hom} _{R}(C_{n},M)\to \mathrm {Hom} _{R}(C_{n+1},M),~~c\mapsto c\circ \partial _{n+1}$

と定義すると

$\partial _{n+1}{}^{*}\circ \partial _{n}{}^{*}=0$

であるので$\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M):=(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M),\partial _{n}{}^{*})_{n\in \mathbb {Z} }$はコチェイン複体である。$\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M)$をMに関する$C_{*}$の双対コチェイン複体（英: dual cochain complex）という。

定義 ― 　

• $H_{n}(C_{*};M):=H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)$を$C_{*}$のn次のMに係数を持つホモロジー加群という。
• $H^{n}(C_{*};M):=H_{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},M))$を$C_{*}$のn次のMに係数を持つコホモロジー加群という。

ホモロジーの場合

Mに係数を持つホモロジー加群の方はその定義により、

$H_{n}(C_{*};M)=H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)$

$H_{n}(C_{*};R)=H_{n}(C_{*}\otimes _{R}R)=H_{n}(C_{*})$

なので、前述のホモロジーに関する普遍係数定理の$H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)$、$H_{n}(C_{*})$を単純に置き換える事で、以下の系が従う：

系 ―  R、Mを前述の定理と同様に取り、$C_{*}$を任意のチェイン複体とすると、

$0\to H_{n}(C_{*};R)\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H_{n}(C_{*};M){\overset {\beta }{\to }}\operatorname {Tor} _{R}(H_{n-1}(C;R),M)\to 0$

が短完全系列となるβが存在する。

コホモロジーの場合

一方、Mを係数を持つコホモロジー加群の場合は若干の注意が必要である。実際、$C^{*}:=\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},R)$としてやると、

$H_{n}(C^{*};R)=H_{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},R))=H^{n}(C^{*})$

であるが、$H^{n}(C_{*};M)$の方は

$H_{n}(C^{*};M)=H_{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},M))$

なので、コホモロジーの普遍係数定理における

$H_{n}(C^{*}\otimes _{R}M)=H_{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},R)\otimes _{R}M)$

とは異なるので単純に置き換える事ができない。しかし適切な条件下ではこれら２つが等しくなり、Mを係数を持つコホモロジー加群の普遍係数定理を示す事ができる：

定理 ―  R、Mを前述の定理と同様に取り、さらに$C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }$をR上のチェイン複体で各nに対し、$C_{n}$がR-加群として自由なものとする。

このときMがR上有限生成であるかもしくは全てのnに対して$H_{n}(C_{*};R)$がR上有限生成であれば、任意のnに対して以下は完全系列である:

$0\to H^{n}(C_{*};R)\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H^{n}(C_{*};M){\overset {\beta }{\to }}\mathrm {Tor} _{R}(H^{n+1}(C_{*};R),M)\to 0$.

Extに関する普遍係数定理

Ext関手を使う事で、ホモロジーとコホモロジーの関係性を示す以下の普遍係数定理を示す事ができる。

前に述べたように、チェイン複体$C_{*}$の双対コチェイン複体$\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M):=(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M),\partial _{n}{}^{*})_{n\in \mathbb {Z} }$に対し、Mを係数に持つコホモロジー加群を$H^{n}(C_{*};M)=H^{n}(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*};M))$により定義する。

このとき以下の定理がしたがう：

定理 (Extに関する普遍係数定理) ―  Rを単項イデアル整域とし、MをR-加群とし、さらに$C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }$をR上のチェイン複体で各nに対し、$C_{n}$がR-加群として自由なものする。このとき、

$0\to \operatorname {Ext} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),M){\overset {\beta }{\to }}H^{n}(C_{*};M){\overset {\alpha }{\to }}\operatorname {Hom} _{R}(H_{n}(C_{*}),M)\to 0$

が短完全系列となるβが存在する。

しかもこの短完全系列は$C_{*}$およびMに関して自然である。さらにこの短完全系列は（Mに関して自然だが$C_{*}$に関しては自然ではなく）分裂する。

上述の定理においてαは$[\varphi ]\in H^{n}(C_{*};M)=H^{n}({\textrm {Hom}}_{R}(C_{*},M))$に対し、$[c]\in H^{n}(C_{*})\mapsto \varphi (c)\in M$という$\operatorname {Hom} _{R}(H_{n}(C_{*}),M)$の元を対応させる写像である。

$R=\mathbb {Z}$で各$H_{n}(C_{*})$が有限生成加群である場合はコホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、$H_{n}(C_{*})$は自由加群部分F_nと捩れ部分群部分$T_{n}$の和で書ける。この事実とExtの性質を利用すると、以下がわかる：

命題 ― 上記の設定のもと以下が成立する：

$H^{n}(C_{*};\mathbb {Z} )\approx \mathrm {Hom} (H_{n}(C_{*});\mathbb {Z} )\oplus \operatorname {Ext} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),\mathbb {Z} )\approx F_{n}\oplus T_{n-1}$

上記により$\mathbb {Z}$-係数コホモロジーさえ分かってしまえば、後はTorに関する普遍係数定理により他の係数のコホモロジーも求まる。

$H_{n}(C_{*})$が有限生成であれば、上述の普遍係数定理でホモロジーとコホモロジーの役割を反転させた定理も成立する：

定理 ―  Rを単項イデアル整域とし、MをR-加群とし、さらに$C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }$をR上のチェイン複体で各nに対し、$C_{n}$がR-加群として自由で、しかも$H_{n}(C_{*})$が有限生成R-加群であるものとする。 このとき、

$0\to \operatorname {Ext} _{R}(H^{n+1}(C_{*}),M){\overset {\beta }{\to }}H_{n}(C_{*};M){\overset {\alpha }{\to }}\operatorname {Hom} _{R}(H^{n}(C_{*}),M)\to 0$

が短完全系列となるβが存在し、この短完全系列は分裂する。

上述の定理において、αは$[z]\otimes m\in H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)=H_{n}(C_{*};M)$に対し、$[f]\in H^{n}(C_{*})\mapsto f(z)m\in M$という$\mathrm {Hom} (H^{n}(C_{*}),M)$の元を対応させる写像である。

関連項目

• キネットの定理

参考文献

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0. A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the author's homepage.
• Kainen, P. C. (1971). “Weak Adjoint Functors”. Mathematische Zeitschrift 122: 1–9. doi:10.1007/bf01113560. 
• 志甫, 淳『層とホモロジー代数』共立出版株式会社〈共立講座 数学の魅力5〉、2016年。ISBN 978-4-320-11160-8。 
• Tammo tom Dieck (2008/9/15). Algebraic Topology. Ems Textbooks in Mathematics. European Mathematical Society. ISBN 978-3037190487 
• 河田敬義『ホモロジー代数』岩波書店〈岩波基礎数学選書〉、1990年11月8日。ISBN 978-4000078047。 
• James F. Davis, Paul Kirk (2001/8/1). Lecture Notes in Algebraic Topology. Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society. ISBN 978-0821821602 

外部リンク

• http://math.stackexchange.com/questions/767864/universal-coefficient-theorem-with-ring-coefficients/768481#768481