正則測度

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数学の分野における、ある位相空間上の正則測度(せいそくそくど、: regular measure)とは、その空間内のすべての可測集合について「近似的に開」(approximately open)かつ「近似的に閉」(approximately closed)であるような測度のことを言う。

定義[編集]

(X, T) を位相空間とし、Σ を、位相 T を含む X 上のσ-代数とする(したがって、すべての開集合閉集合は可測集合であり、Σ は少なくとも X 上のボレルσ-代数と同じくらい良質なものである)。μ を (X, Σ) 上の測度とする。X の可測部分集合 Aμ-正則であるとは、

および

が成り立つことを言う。あるいは、Aμ-正則集合であるための必要十分条件は、すべての δ > 0 に対して、

および

を満たすような閉集合 F と開集合 G が存在することを言う。

これら二つの定義は、 が有限である場合には同値となる(そうでない場合には、二つ目の定義の方が強くなる)。すべての可測集合が正則であるとき、μ正則測度と呼ばれる。

人によっては、集合 F が(閉であるだけでなく)コンパクトであることも必要とする[1]

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  • 実数直線上のルベーグ測度は正則測度である:ルベーグ測度の正則性定理を見られたい。
  • 任意の距離空間上の任意のボレル確率測度は、正則測度である。
  • (すべての可測部分集合に対してゼロの値を取るような)自明測度は、正則測度である。
  • 通常位相を備える実数直線上の、正則測度でない測度 μ の自明な例には、以下のようなものがある。
    • ,
    • , and
    • for any other set .

脚注[編集]

  1. ^ Dudley 1989, Sect. 7.1

参考文献[編集]

  • Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. New York: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-19745-9. 
  • Parthasarathy, K. R. (2005). Probability measures on metric spaces. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. p. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X.  MR 2169627 (See chapter 2)
  • Dudley, R. M. (1989). Real Analysis and Probability. Chapman & Hall. 

関連項目[編集]