極集合

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函数解析学と関連する数学の分野において、あるベクトル空間の与えられた部分集合の極集合(きょくしゅうごう、: polar set)とは、その双対空間の中のある集合のことを言う。

双対組 が与えられたとき、 のある部分集合 極集合あるいはとは、次で定義される 内の集合 のことを言う。

の部分集合 双極(bipolar)とは、 の極集合のことを言う。それは と表記される 内の集合である。

性質[編集]

  • 絶対凸である。
  • ならば である。
    • したがって である。ここで集合の等号は必ずしも成立しない。
  • すべての に対して、次が成り立つ:
  • 双対組 に対し、 上の弱*位相英語版の下で においてである。
  • ある集合 の双極 は、絶対凸包絡集合である。すなわち、 を含む最小の絶対凸集合である。 がすでに絶対凸であるなら、 が成り立つ。
  • 内の閉凸錐 に対し、極錐 に対する片側極集合と同値で、次で与えられる。
.[1]

幾何学[編集]

幾何学において、極集合は点と平面の間の双対性を意味することもある。特に、ある点 の極集合は、 を満たす点 の集合で与えられ、それは極超平面(polar hyperplane)であり、超平面に対する双対関係はそのを与える。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 ed.). Springer. p. 215. doi:10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0. 

ポテンシャル論における極集合に関する文献: Ransford, Thomas: Potential Theory in the Complex Plane, London Mathematical Society Student Texts 28, CUP, 1995, pp. 55-58.