有理化

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数学において、有理化(ゆうりか)とは、根号を含む式、とくに平方根を含む分数式の分母または分子、から根号を取り除く式変形のことである。根号を持つ無理数代数的無理数)を有理数に変える操作であることからこの名がある。

概要[編集]

有理化をすることで計算がしやすくなったりする。例えば

\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{1(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}={2-\sqrt{3}}

などがあげられる。

抽象代数学的にはこの例は、Q を有理数体、dQ が有理数の平方ではないとしたとき

\mathbb{Q}(\sqrt{d}) 
  = \left\{ \frac{a + b\sqrt{d}}{a' + b'\sqrt{d}} \,\Big|\, a,a',b,b' \in \mathbb{Q} \right\}

という Q の二次拡大体を考えると、

\mathbb{Q}(\sqrt{d}) = \mathbb{Q}[\sqrt{d}] (= \{ a + b\sqrt{d} \mid a,b \in \mathbb{Q}\})

が成り立つ、という主張に一般化できる。

これは K = Q(√d) の各元 a + bd に対し、その拡大 K/Q に関する共役元 a - bd を掛ければ

N(a+b\sqrt{d}) := (a+b\sqrt{d})(a-b\sqrt{d}) = a^2-b^2d

(この N(a + bd) は a + bd の(拡大 K/Q に関する)ノルムと呼ばれる。)が Q に属すということからまさに有理化によって 証明されるわけである。

一般に、体 K の(有限次ガロア)拡大体 L の元に対し、その元の拡大 L/K に関する共役元(二次拡大ではただ一つだが、一般には複数ある)をすべて掛け合わせたものを、その元のノルムとよぶが、ノルムは下の体 K に属する。したがって同様のこと、つまり有理化は共役元が全て計算できるならば、二次拡大に限らず行える。

実数化[編集]

Q 以外の体の拡大についても同様のことができる。たとえば、Q実数R にとりかえ、d = -1 としてみよう。

\mathbb{C} = \mathbb{R}(\sqrt{-1}) = \{ a + b\sqrt{-1} \mid a,b \in \mathbb{R}\}

(ここで、√-1 は虚数単位のことである。)であって、各元(つまり複素数)α = a + b√-1 の C/R に関する共役元とは共役複素数 a - b√-1 のことであるということに注意して、そのノルムを計算すると

N(\alpha) = \alpha\bar{\alpha} = (a+b\sqrt{-1})(a-b\sqrt{-1}) = a^2 + b^2

R に属する。したがってたとえば、

\frac{1}{2+\sqrt{-1}}=\frac{1(2-\sqrt{-1})}{(2+\sqrt{-1})(2-\sqrt{-1})}=\frac{2-\sqrt{-1}}{4+1}=\frac{2-\sqrt{-1}}{5}

などの変形が可能である。このような変形を(分母の)実数化ということがある。