文様群

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文様群(もんようぐん、: wallpaper group)もしくは壁紙群(かべがみぐん)は、パターンの対称性に基づく、2次元内での繰り返しパターンに関する数学的な分類である。このようなパターンは、建築美術で頻繁に使用され、そのパターンは17種に大別される。

歴史[編集]

1891年にEvgraf Fedorovによって、2次元空間内での繰り返しパターンが17種に大別されることの証明が試みられ[1]、1924年George Pólyaによって証明された[2]

導入[編集]

文様群は、対称性によるパターン分類であるため、色・形状・サイズが大きく違う場合でも、同じグループに分類される。

対称性[編集]

17種のパターンは対称性の組み合わせからなっている。

  • 並進対称性:Translations
  • 回転(60°、 90°、120°、180°):Rotations
  • 鏡映(鏡像対称性):mirror isometries
  • 映進(並進と鏡映の組み合わせ):Glide reflections

文様群の表記[編集]

結晶学記法[編集]

結晶は3次元空間の空間群で属するが、2次元の文様群を表記することは可能である。

  • 基本胞(primitive cell)の場合P、中心胞(Centered cell)の場合はCが頭文字となる。
  • 回転対称数:360°/n回
  • 鏡映:鏡映対称性が組み合わさった場合は、mirror isometriesから、鏡映していない場合は1(もしくは省略)
  • 映進:映進対称性が組み合わさった場合は、Glide reflectionsからg、映進していない場合は1(もしくは省略)

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  • p2(p211):基本胞、回転対称2、鏡映・映進無し
  • c2mm:中心胞、回転対称2、主軸と垂直の軸で鏡映
  • p31m:基本胞、回転対称3、鏡軸は60°の鏡映

オービフォルド記法[編集]

詳しくはen:Orbifold notation(英語版)を参照されたい。

17種の文様群[編集]

記号説明[編集]

  • Wallpaper group diagram legend rotation2.svgひし形は 180°(= 360°/ 2)の回転中心
  • Wallpaper group diagram legend rotation3.svg 三角形は、120°(= 360°/3 )の回転中心
  • Wallpaper group diagram legend rotation4.svg 正方形は、90°(= 360°/4 )の回転中心
  • Wallpaper group diagram legend rotation6.svg 六角形は、60°(= 360°/6 )の回転中心
  • Wallpaper group diagram legend reflection.svg太い線は鏡映軸
  • Wallpaper group diagram legend glide reflection.svg鏡映と並進を組み合わせた映進軸
  • 黄色い領域は、基本パターンである。

(1)p1群[編集]

P1群は、並進のみの連続パターンで、その他の回転などは含まない。

  • オービフォルド記法:o
  • 点群: C1

p1の例 Wallpaper group diagram p1.svg Wallpaper group diagram p1 rhombic.svg Wallpaper group diagram p1 square.svg Wallpaper group diagram p1 rect.svg Wallpaper group diagram p1 half.svg

(2)p2群[編集]

  • オービフォルド記法:2222
  • 点群: C2

p2の例 Wallpaper group diagram p2.svg Wallpaper group diagram p2 rhombic.svg Wallpaper group diagram p2 square.svg Wallpaper group diagram p2 rect.svg Wallpaper group diagram p2 half.svg

(3)pm群[編集]

  • オービフォルド記法:**
  • 点群: D1

pmの例 Wallpaper group diagram pm.svg Wallpaper group diagram pm rotated.svg

(4)pg群[編集]

  • オービフォルド記法:××
  • 点群: D1

pgの例 Wallpaper group diagram pg.svg Wallpaper group diagram pg rotated.svg

(5)cm群[編集]

  • オービフォルド記法:
  • 点群: D1

㎝の例 Wallpaper group diagram cm.svg Wallpaper group diagram cm rotated.svg

(6)p2mm群[編集]

  • オービフォルド記法:*2222
  • 点群: D2

p2mmの例 Wallpaper group diagram pmm.svg

(7)p2mg群[編集]

  • オービフォルド記法:22*
  • 点群:

p2mgの例 Wallpaper group diagram pmg.svg Wallpaper group diagram pmg rotated.svg

(8)p2gg群[編集]

  • オービフォルド記法:22×
  • 点群:

p2mgの例 Wallpaper group diagram pgg.svg Wallpaper group diagram pgg square.svg

(9)c2mm群[編集]

  • オービフォルド記法:2*22
  • 点群:

c2mmの例 Wallpaper group diagram cmm.svg

(10)p4群[編集]

  • オービフォルド記法:442
  • 点群:

p4の例 Wallpaper group diagram p4 square.svg

(11)p4mm群[編集]

  • オービフォルド記法:*442
  • 点群:

p4mmの例 Wallpaper group diagram p4m square.svg

(12)p4mg群[編集]

  • オービフォルド記法:4*2
  • 点群:

p4mgの例 Wallpaper group diagram p4g square.svg

(13)p3群[編集]

  • オービフォルド記法:333
  • 点群:

p3の例 Wallpaper group diagram p3.svg

(14)p3m1群[編集]

  • オービフォルド記法:*333
  • 点群:

p3m1の例 Wallpaper group diagram p3m1.svg

(15)p31m群[編集]

  • オービフォルド記法:3*3
  • 点群:

SymBlend p31m.svg Wallpaper group diagram p31m.svg

(16)p6群[編集]

  • オービフォルド記法:632
  • 点群:

SymBlend p6.svg Wallpaper group diagram p6.svg

(17)p6mm群[編集]

  • オービフォルド記法:*632
  • 点群:

SymBlend p6m.svg Wallpaper group diagram p6m.svg

参考文献[編集]

  1. ^ E. Fedorov (1891) "Simmetrija na ploskosti" [Symmetry in the plane], Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva [Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society], series 2, vol. 28, pages 245-291 (in Russian)
  2. ^ George Pólya (1924) "Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene," Zeitschrift für Kristallographie, vol. 60, pages 278–282.

関連項目[編集]