志村多様体

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数論では、志村多様体(Shimura variety)は、Q 上に定義された簡約代数群英語版(reductive algebraic group)の合同部分群英語版(congruence subgroup)によるエルミート対称空間英語版(Hermitian symmetric space)として現れるモジュラ曲線英語版の高次元の類似物である。「志村多様体」ということばは、高次元の場合に適用され、1次元の場合には「志村曲線」と呼ばれる。ヒルベルトモジュラ曲面英語版ジーゲルモジュラ多様体英語版は志村多様体の最もよく知られている場合である。

志村多様体の特別な例としては、元来は、虚数乗法論の一般化の中で、志村五郎により導入された。志村は最初は解析的に定義していたが、それらが数論的な対象であることを示した。この意味は、志村多様体が数体上の定義された英語版反映する体であり、モデルという意味である。1970年代に、ピエール・デリーニュ(Pierre Deligne)は、志村の仕事の公理的なフレームワークを作り出した。同時期にロバート・ラングランズ(Robert Langlands)は、ラングランズ・プログラムが検証されることが可能であり、モチーフ的L-函数英語版(Motivic L-function)と保型形式のL-函数英語版(Automorphic L-function)の同値性のある自然な例を志村多様体が作り上げることに注目した。志村多様体のコホモロジー英語版の中に現れる保型形式は、一般的な保型形式よりも研究しやすい。特に、それらへのガロア表現英語版をもつように構成することができる。

定義[編集]

志村データ[編集]

S = ResC/R Gm複素数から実数への乗法群のヴェィユの制限英語版(Weil restriction)[1]とする。これは実代数群英語版(algebraic group)であり、群は R-点で、S(R) は C* で、C-点の群は C*×C* である。志村データ(Shimura datum)は、有理数Q 上で定義された簡約代数群英語版(reductive algebraic group) G と、次の公理を満たす群準同型 h: S → GR の G(R)-共役類英語版 X からなるペア (G, X) である。

  • X の任意の h でウェイト(weight)が (0,0), (1,−1), (−1,1) のものは、gC の中にある、つまり、複素化された G のリー代数は下記の直和に分解する。
\mathfrak{g}\otimes\mathbb{C}=\mathfrak{k}\oplus\mathfrak{p}^{+}\oplus\mathfrak{p}^{-},
ここに、任意の z ∈ S に対して、h(z) は最初の加える数に自明に作用し、z/\bar{z} (それぞれ \bar{z}/z)を通して第二の(第三の)加える数(第三の和)へそれぞれ作用する。
  • GR の随伴群は、H 上で h の射影が自明となるようなに Q 上に定義された要素 H を持たない。

これらの公理から X は一意な複素多様体の構造(離散的でもよい)を持ち、全ての表現 ρ: GR → GL(V) に対して、族 (V, ρ ⋅ h) がホッジ構造の正則な族をなし、さらに、ホッジ構造の変形を形成し、X はエルミート対称空間英語版(hermitian symmetric domain)の有限個の合併となることを示すことができる。

志村多様体[編集]

AƒQアデール環英語版(ring of adeles)とする。十分に小さなコンパクトな G(Aƒ) の開部分集合 K に対して、両側コセット英語版空間

Sh_K(G,X) = G(\mathbb{Q})\backslash X\times G(\mathbb{A}_f)/K

は、Γ \ X+ の形をした局所対称多様体英語版の有限個の合併である。ここに、プラスの添字は連結成分を表している。多様体 ShK(G,X') は複素代数多様体で、それらは十分に小さなコンパクト開部分空間 K のすべてに対し、函手として逆極限[2]を形成る。この逆極限

(Sh_K(G,X))_K

は、自然に右作用 G(Aƒ) が作用する。これを志村データ (G, X) に関する志村多様体といい、Sh(G, X) で表す。

歴史[編集]

エルミート対称空間の特別なタイプと合同群 Γ に対し、\Gamma\backslash X = Sh_K(G,X) の形の代数多様体とそのバイリー・ボレルのコンパクト化英語版(Baily–Borel compactification)は、1960年代に一連の志村五郎の論文で導入された。後日、彼のモノグラフとして出版されているが、志村のアプローチは、虚数乗法論の相反法則の最大限の一般化を追求する研究で、現象的にも広い範囲に及ぶ。時代は遡るが、「志村多様体」と言う命名はピエール・デリーニュ(Pierre Deligne)が導入し、彼は志村理論の中で独立した抽象的な形をしている部分の研究を推し進めた。デリーニュの定式化では、志村多様体はホッジ構造のあるタイプのパラメータ空間である。このようにして、彼らは、レベル構造を持つ楕円曲線モジュライ空間がそうであったように、モジュラ曲線の自然に高次元への一般化を作り出した。多くの場合、志村多様体が解であるようなモジュライ問題は同一視することができる。

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F を総実な数体とし、D を F 上の四元数斜体とする。乗法群 D× は標準的な志村多様体を引き起こす。その次元 d は D が分解する無限の座(place)の数である。特に、d = 1 (例えば、F = Q や D ⊗ R ≅ M2(R))のとき、D× の十分小さな算術的部分群英語版(arithmetic subgroup)を固定すると、志村曲線を得ることができ、この構成から得られる曲線は既にコンパクトである(すなわち、射影的英語版)。

明らかに方程式が知られている志村曲線の例は、以下の括弧の中の種数のフルヴィッツ曲線英語版(Hurwitz curve)である。

と、次数 7 のフェルマー曲線英語版(Fermat curve)である。[3]

志村多様体の他の例は、ピカールモジュラ曲面英語版(Picard modular surface)やヒルベルト・ブレメンタール多様体英語版(Hilbert–Blumenthal varieties)がある。

標準モデルと特殊点[編集]

各々の志村多様体は、反射体と言われる標準的な数体 E の上に定義することができる。この志村による重要な結果は、志村多様体は前提的に唯一の複素多様体であり、数体の定義体英語版を持っていて、従って、数論的な重要性を持っていることを示した。志村多様体は相反法則の志村による定式化の出発点を形成し、そこで特殊点が定義されたある数論的に重要な役割を担う。

志村多様体上の特殊点の集合のザリスキ閉包英語版(Zariski closure)の自然な性質は、アンドレ・オールト予想英語版(André-Oort conjecture)により記述される。一般化されたリーマン予想(Generalized Riemann Hypothesis)を前提として、条件付きの結果としてこの予想が得られる。[4]

ラングランズプログラムの中の役割[編集]

志村多様体はラングランズ・プログラムの中で際立った役割を果たす。典型的な定理として、アイヒラー・志村の合同関係式英語版(Eichler–Shimura congruence relation)があり、これはハッセ・ヴェイユのゼータ函数英語版(Hasse-Weil zeta function)が、ウェイト 2 のモジュラ形式(modular form)によって明白に決目られたL-函数の積であることを意味している。実際、この定理の一般化の過程で、志村五郎はこの多様体を導入し、彼の相反法則を証明した。他の数体とその内積の上の群 GL2(つまり四元数の乗法群)を持つ志村多様体のゼータ函数は、アイヒラー(Eichler)、志村、久賀、井原により研究された。彼らの結果を基礎として、ロバート・ラングランズ(Robert Langlands)は次の予想を立てた。ある数体上に定義された任意の代数多様体 W のハッセ・ヴェィユのゼータ函数は、保型形式からくるL-函数の正と負のべきの積となるのではないだろうか、すなわち、保型表現の集まりから発生するはずである。しかし、このタイプの記述は哲学的な性質であるが、W が志村多様体のときは証明されている。[5] ラングランズのことばから引用する。

志村多様体に付随する全てのL-函数が - 従って、志村多様体によって定義されたモチーフが、- [彼の1970年の論文の意味での]保型形式のL-函数で表現可能であるということは、全てのモチーフのL-函数が保型形式のL-函数であるということを示すことに比べ、格段に弱い。しかも、より強い命題は、そこでは、有効であると期待されているにもかかわらず、今まで私の知る限り、全てのモチーフのL-函数が志村多様体にひもづけられていると期待する理由は見当たらない。[6]

脚注[編集]

  1. ^ L/k を体の有限拡大とし、X を L 上に定義された代数多様体とする。k-スキーム(schemes)op から集合への函手 \mathrm{Res}_{L/k}X を次のように定義する。
    \mathrm{Res}_{L/k}X(S) = X(S \times_k L).
    (特に、\mathrm{Res}_{L/k}X の k-有理点は、X の L-有理である。この函手を表現英語版する多様体をスカラーの制限といい、もし存在すれば一意に決定する。この函手 \mathrm{Res}_{L/k}ヴェィユの制限(Weil restriction)と言う。
  2. ^ カテゴリ論の中で、射影極限に相当する。「逆極限」という用語を用いた.
  3. ^ Elkies, section 4.4 (pp. 94–97) in (Levy 1999).
  4. ^ http://people.math.jussieu.fr/~klingler/papiers/KY12.pdf
  5. ^ 評価:多くの例が知られていて、志村多様体から「来た」という意味は、少し抽象的な意味となっている.
  6. ^ at p. 3.

参考文献[編集]