射影被覆

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数学において、射影被覆(しゃえいひふく、: projective cover)とは、射影加群 P加群 M全射準同型写像 PM の組のうちで、が‘最小’になるもののことをいう(#定義)。

動機[編集]

任意の加群 M はある射影加群 P全射準同型像である[1]

したがって準同型定理より

である。 そこで加群 Mker π が‘最小’になるように選んで、射影加群 P で‘近似’したものを射影被覆という。 より正確には P のすべての部分加群 L に対して

が成り立つとき、π : PM は射影被覆であるという。

定義[編集]

R単位元をもつとし、以下では加群はすべて左 R 加群、はすべて左 R 加群の準同型を指すことにする。

加群 N の部分加群 KN余剰部分加群(superfluous submodule, small submodule)であるとは、すべての N の部分加群 L に対して

が成り立つことをいう[2]。また全射 π : NM ker πN の余剰部分加群であるとき、π余剰全射(superfluous epimorphism)であるという[3]射影加群 P と加群 M への全射

の組 (P, π)射影被覆 であるとは、π が余剰全射であることをいう[4]。このことを P が射影被覆であるといったり、 π : PM が射影被覆であるといったりすることもある。

性質[編集]

一意性[編集]

一般に加群の射影被覆が存在するとは限らない[5]。(けれども、たとえばアルティン環上の加群に対しては存在する[6]。) もし存在すれば一意的に定まることは次の補題からわかる。

補題[4]
p : PM が射影被覆であるとする。もし Q射影加群で、全射 q : QM があれば、 Q = PR となる ker q の部分加群 R が存在して、制限 q|P : PM は射影被覆である。

直和[編集]

pi: PiMi (1 ≤ in) が射影被覆ならば、 (⊕pi): ⊕Pi → ⊕Mi も射影被覆である[5]

既約加群の射影被覆[編集]

P をゼロでない射影加群とする。 射影加群 P がある既約加群の射影被覆である必要十分条件は、 P のゼロでないすべての商加群が直既約であることである[5]

脚注[編集]

  1. ^ Anderson & Fuller 1992, p. 199, Proposition 17.15.
  2. ^ Anderson & Fuller 1992, p. 72.
  3. ^ Anderson & Fuller 1992, p. 73.
  4. ^ a b Anderson & Fuller 1992, p. 199.
  5. ^ a b c Anderson & Fuller 1992, p. 203.
  6. ^ 岩永 & 佐藤 2002, p. 253.

参考文献[編集]

関連項目[編集]