完全トーティエント数

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完全トーティエント数(かんぜんトーティエントすう、: perfect totient number)、完全トーシェント数は、自然数のうち、以下の等式を満たす数 n である。

n = \sum_{i = 1}^{c + 1} \varphi^i (n) = \varphi (n) + \varphi (\varphi (n)) + \varphi (\varphi (\varphi (n))) + \cdots + \overbrace{ \varphi (\varphi ( \cdots (\varphi (\varphi }^{c+1} (n))) \cdots ))
\varphi^i (n)= \left\{ \begin{matrix} \varphi (n) \qquad i=1 \\ \varphi(\varphi^{i-1} (n)) \quad i \ge 2 \end{matrix}\right.

ここで φオイラーのトーシェント関数である。例えば 327 は

φ(327) = 216, φ(216) = 72, φ(72) = 24, φ(24) = 8, φ(8) = 4, φ(4) = 2, φ(2) = 1

と 1 になるまで次々と φ 関数の値を計算し、それらの総和が 216 + 72 + 24 + 8 + 4 + 2 + 1 = 327 と元の数に等しくなるので完全トーシェント数である。

一般に完全トーシェント数 n は以下の式を満たす。

\displaystyle\varphi^c(n)=2

完全トーシェント数は無数にあり、そのうち最小の数は 3 である。完全トーシェント数を小さい順に列記すると

3, 9, 15, 27, 39, 81, 111, 183, 243, 255, 327, 363, 471, 729, 2187, 2199, 3063, 4359, 4375, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A082897

性質[編集]

ほとんどの完全トーシェント数は 3 の倍数であり、3 の倍数でない完全トーシェント数のうち最小の数は 4375 である。特に 3 の累乗数 (3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, …) は全て完全トーシェント数である。これは 3 の累乗数 3k

\displaystyle\varphi(3^k) = \varphi(2\times 3^k) =2 \times 3^{k-1}

を満たすことから証明できる。

Venkataraman は1975年に素数 pp = 4×3k + 1 の形で表されるとき、3p が完全トーシェント数になることを発見した。一般に、素数 p > 3 に対して 3p が完全トーシェント数であるとき、p≡1 (mod 4) である (Mohan, Suryanarayana 1982)。しかし、この形をした 3p の全てが完全トーシェント数になる訳ではない。例えば p = 17 の場合 p≡1 (mod 4) を満たし、3p = 51 となるが、51 は完全トーシェント数ではない。

関連事項[編集]

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