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土圧 (どあつ、英語 : earth pressure )とは、地盤 内における土 による圧力 のことで、状態によって水平土圧の値が変化する。擁壁 に裏込めされた土により、擁壁には土圧が作用する。擁壁が転倒しないように設計を行うためには、土圧の算定が重要となる。
1763年パリ条約 でイギリスと講和をむすんだフランスは、その際、イギリスに占領されていたマルチニク島 が返還され、その破壊された城と町とを再建しなければならなくなった。[ 1] ブレスト港 からマルチニク島に向けて出港した。[ 1] クーロン が指名され、急遽赴任させられることになった。[ 1]
このマルチニク島におけるフォート・デ・フランス （フランス語版 ） [ 1]
私は８年間、ほとんど唯一人で1200人もの人達を使いながら、フォート・ブルボン（後のFort Desaixのこと）の工事の責任者だった。この工事の最中に、しばしば仮定にもとづく計算や、小さなモデルによる実験をもとにした理論が、実際にはいかに不十分な指標にすぎないかということを経験させられた。そのため私は、技術者として事業に使えそうな、あらゆる分野の研究に、毎日毎日打ち込んでいた
1772年にマルチニク島から本国へ帰ったクーロンは、ブーシャン （英語版 ） [ 1] [ 2] [ 2] ダニエル・ベルヌーイ やレオンハルト・オイラー などの後に変分法 に発展する業績に影響を受けたものと思われる。[ 3] サンブナン （英語版 ） [ 3]
現在、我々が一般にクーロンの土圧公式と呼んでいるのは、ミュラー・ブレスロー （英語版 ） [ 4]
いわゆる「ランキンの土圧論」が書かれたのは、ランキン がグラスゴー大学に着任したその翌年で、さらにその翌年、1857年、王立学士院の紀要（Philosophical Transactions）に、『緩い土の安定について（On the Stability of Loose Earth）』という題で掲載された。[ 5] [ 6]
この論文の内容は、彼が大学に勤めるようになり、講義の準備の際に土木工事や石工工事の安定について数学的な理論を再検討しているときに考え出したと述べている。[ 7] [ 5] [ 7]
静止した状態にある水において、ある点における水圧はどの方向からも等しい大きさであり、水の単位体積重量にその点よりも上にある水の高さを乗ずることで得られる。土圧の場合、鉛直方向に関しては土の単位体積重量に深さを乗じた値が土圧となり、これは水と同様である。一方、水平方向は、土の単位体積重量に深さを乗じた値の0.4～0.7倍が土圧となる。土の状態によって水平土圧の値が変わり、それぞれ主働土圧、受働土圧、静止土圧と呼ばれる。
ランキン土圧を算出する時は下記のような仮定を用いている。
擁壁は考えない。(擁壁の摩擦及び形状は考えない。)
塑性平衡状態となる。モール・クーロンの破壊規準 に従う。
傾斜角を考慮しない。 主働土圧の時の地盤の状態 主働土圧状態
モール・クーロンの破壊規準の主応力表示は下記の通りである。
σ
1
−
σ
3
=
2
c
c
o
s
ϕ
+
(
σ
1
+
σ
3
)
s
i
n
ϕ
{\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{3}=2\mathrm {ccos} \phi +(\sigma _{1}+\sigma _{3})\mathrm {sin} \phi \,\!}
主働土圧の時、最大主応力は
σ
v
{\displaystyle \sigma _{v}\,\!}
σ
h
a
{\displaystyle \sigma _{ha}\,\!}
σ
v
−
σ
h
a
=
2
c
c
o
s
ϕ
+
(
σ
v
+
σ
h
a
)
s
i
n
ϕ
{\displaystyle \sigma _{v}-\sigma _{ha}=2\mathrm {ccos} \phi +(\sigma _{v}+\sigma _{ha})\mathrm {sin} \phi \,\!}
上式を
σ
h
a
{\displaystyle \sigma _{ha}\,\!}
σ
h
a
=
σ
v
t
a
n
2
(
π
4
−
ϕ
2
)
−
2
c
t
a
n
(
π
4
−
ϕ
2
)
{\displaystyle \sigma _{ha}=\sigma _{v}\mathrm {tan} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\phi }{2}}\right)-2\mathrm {ctan} \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}
また、主働土圧係数
K
a
{\displaystyle K_{a}\,\!}
σ
h
a
=
σ
v
K
a
−
2
c
K
a
{\displaystyle \sigma _{ha}=\sigma _{v}K_{a}-2\mathrm {c} {\sqrt {K_{a}}}\,\!}
K
a
=
t
a
n
2
(
π
4
−
ϕ
2
)
{\displaystyle K_{a}=\mathrm {tan} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}
受働土圧状態
受働土圧の時の地盤の状態 モール・クーロンの破壊規準の主応力表示は下記の通りである。
σ
1
−
σ
3
=
2
c
c
o
s
ϕ
+
(
σ
1
+
σ
3
)
s
i
n
ϕ
{\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{3}=2\mathrm {ccos} \phi +(\sigma _{1}+\sigma _{3})\mathrm {sin} \phi \,\!}
受働土圧の時、最大主応力は
σ
h
p
{\displaystyle \sigma _{hp}\,\!}
σ
v
{\displaystyle \sigma _{v}\,\!}
σ
h
p
−
σ
v
=
2
c
c
o
s
ϕ
+
(
σ
h
p
+
σ
v
)
s
i
n
ϕ
{\displaystyle \sigma _{hp}-\sigma _{v}=2\mathrm {ccos} \phi +(\sigma _{hp}+\sigma _{v})\mathrm {sin} \phi \,\!}
上式を
σ
h
p
{\displaystyle \sigma _{hp}\,\!}
σ
h
p
=
σ
v
t
a
n
2
(
π
4
+
ϕ
2
)
−
2
c
t
a
n
(
π
4
+
ϕ
2
)
{\displaystyle \sigma _{hp}=\sigma _{v}\mathrm {tan} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)-2\mathrm {ctan} \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}
また、受働土圧係数
K
p
{\displaystyle K_{p}\,\!}
σ
h
p
=
σ
v
K
p
−
2
c
K
p
{\displaystyle \sigma _{hp}=\sigma _{v}K_{p}-2\mathrm {c} {\sqrt {K_{p}}}\,\!}
K
p
=
t
a
n
2
(
π
4
+
ϕ
2
)
{\displaystyle K_{p}=\mathrm {tan} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}
クーロン土圧を算出する時は下記のような仮定を用いている。
粘着力の無い砂質土を対象とする
壁体の背後の土の中に直線状の滑り面が生じ、くさび状の土塊が滑り面に沿って動く クーロン土圧はランキン土圧よりも適用範囲が広く、壁体との摩擦、壁体の傾斜、背後の地表面の傾斜も考慮している。
主働土圧状態
クーロンの主働土圧計算時の地盤の状態は下図の通りである。
主働土圧の時の地盤の状態 主働土圧の時の連力図 右図を連力図という。土のくさびの重量
W
{\displaystyle W\,\!}
P
a
{\displaystyle P_{a}\,\!}
F
{\displaystyle F\,\!}
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
(土と壁体の摩擦角
δ
{\displaystyle \delta \,\!}
ϕ
{\displaystyle \phi \,\!}
α
{\displaystyle \alpha \,\!}
β
{\displaystyle \beta \,\!}
連力図に着目すると、正弦定理より以下の関係式を得る。
W
s
i
n
(
α
+
δ
−
θ
+
ϕ
)
=
P
a
s
i
n
(
θ
−
ϕ
)
{\displaystyle {\frac {W}{\mathrm {sin} (\alpha +\delta -\theta +\phi )}}={\frac {P_{a}}{\mathrm {sin} (\theta -\phi )}}\!}
したがって、
P
a
{\displaystyle P_{a}\,\!}
P
a
=
W
s
i
n
(
θ
−
ϕ
)
s
i
n
(
α
+
δ
−
θ
+
ϕ
)
{\displaystyle P_{a}={\frac {W\mathrm {sin} (\theta -\phi )}{\mathrm {sin} (\alpha +\delta -\theta +\phi )}}\!}
W
{\displaystyle W\,\!}
つまり、土塊の体積
V
{\displaystyle V\,\!}
この時、土の体積は単位奥行きあたりの体積であるので、実質的には土くさびの面積
S
{\displaystyle S\,\!}
右図より土くさびの面積は以下の通りとなる。
土くさびの面積
S
=
1
2
A
B
∗
A
C
s
i
n
(
α
−
θ
)
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}AB*AC\mathrm {sin} (\alpha -\theta )}
また、正弦定理より以下の関係式を得る。
A
B
s
i
n
(
θ
−
β
)
=
A
C
s
i
n
(
π
−
α
+
β
)
=
A
C
s
i
n
(
−
α
+
β
)
{\displaystyle {\frac {AB}{\mathrm {sin} (\theta -\beta )}}={\frac {AC}{\mathrm {sin} (\pi -\alpha +\beta )}}={\frac {AC}{\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}}}
辺
A
B
{\displaystyle AB}
H
{\displaystyle H}
A
B
=
H
s
i
n
α
{\displaystyle AB={\frac {H}{\mathrm {sin} \alpha }}}
以上より土くさびの面積は以下の通りである。
S
=
V
=
H
2
s
i
n
(
α
−
θ
)
s
i
n
(
−
α
+
β
)
2
s
i
n
2
α
s
i
n
(
θ
−
β
)
{\displaystyle S=V={\frac {H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )}}}
したがって、土の重さは以下のように得られる。
W
=
γ
t
H
2
s
i
n
(
α
−
θ
)
s
i
n
(
−
α
+
β
)
2
s
i
n
2
α
s
i
n
(
θ
−
β
)
{\displaystyle W={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )}}}
つまり、クーロンの主働土圧は以下のように導かれる。
P
a
=
γ
t
H
2
s
i
n
(
α
−
θ
)
s
i
n
(
−
α
+
β
)
s
i
n
(
θ
−
ϕ
)
2
s
i
n
2
α
s
i
n
θ
−
β
)
s
i
n
(
α
+
δ
−
θ
+
ϕ
)
{\displaystyle P_{a}={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )\mathrm {sin} (\theta -\phi )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} \theta -\beta )\mathrm {sin} (\alpha +\delta -\theta +\phi )}}}
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
極限定理 の上界定理の考え方から
P
a
{\displaystyle P_{a}\,\!}
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
すなわち、以下の関係を満たす時の
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
P
a
{\displaystyle P_{a}\,\!}
∂
P
a
∂
θ
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial P_{a}}{\partial \theta }}=0}
クーロンの主働土圧は以下の通りである。
P
a
=
1
2
γ
t
K
a
H
2
{\displaystyle P_{a}={\frac {1}{2}}\gamma _{t}K_{a}H^{2}\,\!}
K
a
=
s
i
n
2
(
ϕ
−
α
)
s
i
n
2
α
s
i
n
(
α
+
δ
)
[
1
+
s
i
n
(
ϕ
−
β
)
s
i
n
(
ϕ
+
δ
)
s
i
n
(
α
−
β
)
s
i
n
(
α
+
δ
)
]
2
{\displaystyle K_{a}={\frac {\mathrm {sin} ^{2}(\phi -\alpha )}{\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\alpha +\delta )\left[1+{\sqrt {\frac {\mathrm {sin} (\phi -\beta )\mathrm {sin} (\phi +\delta )}{\mathrm {sin} (\alpha -\beta )\mathrm {sin} (\alpha +\delta )}}}\right]^{2}\,}}\,\!}
受働土圧状態
クーロンの受働土圧計算時の地盤の状態は下図の通りである。
受働土圧の時の地盤の状態 主働土圧と同様に連力図を用いて解く。正弦定理より以下の関係式を得る。
受働土圧の時の連力図
W
s
i
n
(
α
−
δ
−
θ
−
ϕ
)
=
P
p
s
i
n
(
θ
+
ϕ
)
{\displaystyle {\frac {W}{\mathrm {sin} (\alpha -\delta -\theta -\phi )}}={\frac {P_{p}}{\mathrm {sin} (\theta +\phi )}}\!}
したがって、
P
p
{\displaystyle P_{p}\,\!}
P
p
=
W
s
i
n
(
θ
+
ϕ
)
s
i
n
(
α
−
δ
−
θ
−
ϕ
)
{\displaystyle P_{p}={\frac {W\mathrm {sin} (\theta +\phi )}{\mathrm {sin} (\alpha -\delta -\theta -\phi )}}\!}
また、右図より土くさびの面積は以下の通りとなる。土くさびの面積
S
=
1
2
A
B
∗
A
C
s
i
n
(
α
−
θ
)
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}AB*AC\mathrm {sin} (\alpha -\theta )}
また、正弦定理より以下の関係式を得る。
A
B
s
i
n
(
θ
−
β
)
=
A
C
s
i
n
(
π
−
α
+
β
)
=
A
C
s
i
n
(
−
α
+
β
)
{\displaystyle {\frac {AB}{\mathrm {sin} (\theta -\beta )}}={\frac {AC}{\mathrm {sin} (\pi -\alpha +\beta )}}={\frac {AC}{\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}}}
辺
A
B
{\displaystyle AB}
H
{\displaystyle H}
A
B
=
H
s
i
n
α
{\displaystyle AB={\frac {H}{\mathrm {sin} \alpha }}}
以上より土くさびの面積は以下の通りである。
S
=
V
=
H
2
s
i
n
(
α
−
θ
)
s
i
n
(
−
α
+
β
)
2
s
i
n
2
α
s
i
n
(
θ
−
β
)
{\displaystyle S=V={\frac {H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )}}}
したがって、土の重さは以下のように得られる。
W
=
γ
t
H
2
s
i
n
(
α
−
θ
)
s
i
n
(
−
α
+
β
)
2
s
i
n
2
α
s
i
n
(
θ
−
β
)
{\displaystyle W={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )}}}
つまり、クーロンの受働土圧は以下のように導かれる。
P
p
=
γ
t
H
2
s
i
n
(
α
−
θ
)
s
i
n
(
−
α
+
β
)
s
i
n
(
θ
+
ϕ
)
2
s
i
n
2
α
s
i
n
(
θ
−
β
)
s
i
n
(
α
−
δ
−
θ
−
ϕ
)
{\displaystyle P_{p}={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {sin} (\alpha -\theta )\mathrm {sin} (-\alpha +\beta )\mathrm {sin} (\theta +\phi )}{2\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\theta -\beta )\mathrm {sin} (\alpha -\delta -\theta -\phi )}}}
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
極限定理 の上界定理の考え方から
P
p
{\displaystyle P_{p}\,\!}
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
すなわち、以下の関係を満たす時の
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
P
p
{\displaystyle P_{p}\,\!}
∂
P
p
∂
θ
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial P_{p}}{\partial \theta }}=0}
クーロンの受働土圧は以下の通りである。
P
p
=
1
2
γ
t
K
p
H
2
{\displaystyle P_{p}={\frac {1}{2}}\gamma _{t}K_{p}H^{2}\,\!}
K
p
=
s
i
n
2
(
ϕ
−
α
)
s
i
n
2
α
s
i
n
(
α
−
δ
)
[
1
−
s
i
n
(
ϕ
+
β
)
s
i
n
(
ϕ
+
δ
)
s
i
n
(
α
−
β
)
s
i
n
(
α
−
δ
)
]
2
{\displaystyle K_{p}={\frac {\mathrm {sin} ^{2}(\phi -\alpha )}{\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\alpha -\delta )\left[1-{\sqrt {\frac {\mathrm {sin} (\phi +\beta )\mathrm {sin} (\phi +\delta )}{\mathrm {sin} (\alpha -\beta )\mathrm {sin} (\alpha -\delta )}}}\right]^{2}\,}}\,\!}
ランキン土圧における仮定は、以下の通りである。
α
=
π
2
,
β
=
0
,
δ
=
0
{\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{2}},\beta =0,\delta =0\,\!}
この時主働土圧および、受働土圧は以下のように得られる。
主働土圧
P
a
=
γ
t
H
2
c
o
s
(
θ
)
s
i
n
(
θ
−
ϕ
)
2
s
i
n
θ
c
o
s
(
θ
−
ϕ
)
{\displaystyle P_{a}={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {cos} (\theta )\mathrm {sin} (\theta -\phi )}{2\mathrm {sin} \theta \mathrm {cos} (\theta -\phi )}}\,\!}
先ほどと同様に上界定理を用いる。
∂
P
a
∂
θ
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial P_{a}}{\partial \theta }}=0}
この方程式を解くと、
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
θ
=
π
4
+
ϕ
2
{\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\,\!}
この時の主働土圧は次のように得られる。
P
a
=
1
2
γ
t
K
a
H
2
{\displaystyle P_{a}={\frac {1}{2}}\gamma _{t}K_{a}H^{2}\,\!}
K
a
=
t
a
n
2
(
π
4
−
ϕ
2
)
{\displaystyle K_{a}=\mathrm {tan} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}
受働土圧
P
p
=
γ
t
H
2
c
o
s
(
θ
)
s
i
n
(
θ
+
ϕ
)
2
s
i
n
θ
c
o
s
(
θ
+
ϕ
)
{\displaystyle P_{p}={\frac {\gamma _{t}H^{2}\mathrm {cos} (\theta )\mathrm {sin} (\theta +\phi )}{2\mathrm {sin} \theta \mathrm {cos} (\theta +\phi )}}\,\!}
先ほどと同様に上界定理を用いる。
∂
P
p
∂
θ
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial P_{p}}{\partial \theta }}=0}
この方程式を解くと、
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
θ
=
π
4
−
ϕ
2
{\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}-{\frac {\phi }{2}}\,\!}
この時の受働土圧は次のように得られる。
P
p
=
1
2
γ
t
K
p
H
2
{\displaystyle P_{p}={\frac {1}{2}}\gamma _{t}K_{p}H^{2}\,\!}
K
p
=
t
a
n
2
(
π
4
+
ϕ
2
)
{\displaystyle K_{p}=\mathrm {tan} ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\,\!}
ランキン土圧とクーロン土圧は一見違う理論のように見えるが、実は同じである。ただし、適用できる対象がやや異なるので下に表にしてまとめた。
ランキン土圧とクーロン土圧の違い
壁体との摩擦 壁体の形 地盤の形 土材料 土の内部摩擦
ランキン土圧
考慮しない 考慮しない 考慮しない c,
ϕ
{\displaystyle \phi }
考慮する
クーロン土圧
考慮する 考慮する 考慮する
ϕ
{\displaystyle \phi }
考慮する
石原研而『土質力学』丸善、2001年。ISBN 978-4-621-04948-8 。 地盤工学会『地盤工学用語辞典』丸善、2001年。ISBN 4-88644-073-8 。 最上武雄「土質力学を築いた人々（<小特集>土質力学の発展に貢献した人々）」『土と基礎』第31巻第11号、1983年、5-14頁。 網干壽夫「C. A. Coulomb（クーロン）（<小特集>土質力学の発展に貢献した人々）」『土と基礎』第31巻第11号、1983年、15-21頁。 大原資生「W. J. M. Rankine（ランキン）（<小特集>土質力学の発展に貢献した人々）」『土と基礎』第31巻第11号、1983年、26-28頁。 坂本功「土質基礎の回顧と点描：10.クーロンとランキン：古典土圧論の二人の生涯」『土と基礎』第22巻第9号、1974年、70-76頁。
![{\displaystyle K_{a}={\frac {\mathrm {sin} ^{2}(\phi -\alpha )}{\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\alpha +\delta )\left[1+{\sqrt {\frac {\mathrm {sin} (\phi -\beta )\mathrm {sin} (\phi +\delta )}{\mathrm {sin} (\alpha -\beta )\mathrm {sin} (\alpha +\delta )}}}\right]^{2}\,}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77fec8b553950d48d4010767c872a765ad3d0ebf)
![{\displaystyle K_{p}={\frac {\mathrm {sin} ^{2}(\phi -\alpha )}{\mathrm {sin} ^{2}\alpha \mathrm {sin} (\alpha -\delta )\left[1-{\sqrt {\frac {\mathrm {sin} (\phi +\beta )\mathrm {sin} (\phi +\delta )}{\mathrm {sin} (\alpha -\beta )\mathrm {sin} (\alpha -\delta )}}}\right]^{2}\,}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3f9ab6cd0ee91366d48e48a7068fc7647aaa1c5)
