古典ハイゼンベルク模型

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古典ハイゼンベルク模型(こてんハイゼンベルクもけい、: classical Heisenberg model, 古典ハイゼンベルクモデル)とは、統計力学に登場するモデル(模型)の一つで、強磁性やその他の現象を説明するために用いられる。n ベクトル模型n = 3 の場合に相当する。

定義[編集]

このモデルは次のように定式化される。d 次元の格子を用意し、単位長を持つ3成分スピンベクトル

を各格子点に一つずつ配置する。

この系のハミルトニアンは次のように定義される。

ここで係数

はスピン間の結合係数である。i 番目と j 番目のスピンが隣接していれば J, そうでなければ 0 の値をとる。

性質[編集]

ハイゼンベルク模型を記述・解明するための一般的な数学的表現や一般化については、ポッツ模型英語版にて解説する。注記すると、連続極限 (continuum limit) において (2) 式は次の運動方程式を与える。

この方程式は連続古典ハイゼンベルク強磁性体方程式 (continuous classical Heisenberg ferromagnet equation) あるいは短くハイゼンベルク模型と呼ばれており、ソリトンにおいて可積分である。ランダウ=リフシッツ方程式石森方程式英語版などのように、いくつかの可積分あるいは非可積分な一般化が可能である。

1次元[編集]

  • 長距離相互作用 の場合、 であれば、熱力学極限は well defined である。α ≥ 2 であれば、磁性は 0 のままである。しかし、1 < α < 2(赤外境界)であれば、充分低い温度で磁性は正となる。
  • 外場が 0 であれば、自由境界を持つ任意の「最も近い近傍」の n-ベクトルモデル(n-vector model)として、単純な厳密解が存在する。

2次元[編集]

  • 長距離相互作用 の場合、α > 2 であれば、熱力学極点は well defined である。α ≥ 4 であれば、磁性は 0 のままである。しかし、2 < α < 4(赤外境界)であれば、純分低い温度で磁性は正となる。
  • ポリヤコフは、古典XYモデルの反対として、任意の に対し双極フェーズ英語版(dipole phase)は存在しないと予想した。つまり、温度が零でないとき、相関函数は指数函数的に密集する[1]

3次元とそれ以上の次元[編集]

相互作用のレンジとは独立に、充分低い温度で、磁性は正となる。

低温の臨界状態では、相関函数が切り取られて、代数的になることが予想されている。

参考文献[編集]

  • 西森秀稔 『相転移・臨界現象の統計物理学』 培風館、2005年 

関連項目[編集]

外部リンク[編集]