古典ハイゼンベルク模型

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古典ハイゼンベルク模型: classical Heisenberg model, 古典ハイゼンベルクモデル)とは、統計力学に登場するモデル(模型)の一つで、強磁性やその他の現象を説明するために用いられる。nベクトル模型n = 3 の場合に相当する。

定義[編集]

このモデルは次のように定式化される。d 次元の格子を用意し、単位長を持つ3成分スピンベクトル

\vec{s}_i \in \mathbb{R}^3, |\vec{s}_i|=1\quad (1)

を各格子点に一つずつ配置する。

この系のハミルトニアンは次のように定義される。

\mathcal{H} = -\sum_{i,j} \mathcal{J}_{ij} \vec{s}_i \cdot \vec{s}_j\quad (2)

ここで係数

 \mathcal{J}_{ij} = \begin{cases} J & \mbox{if }i, j\mbox{ are neighbors} \\ 0 & \mbox{else.}\end{cases}

はスピン間の結合係数である。i 番目とj 番目のスピンが隣接していればJ 、そうでなければ 0 の値をとる。

性質[編集]

ハイゼンベルク模型を記述・解明するための一般的な数学的表現や一般化については、ポッツ模型英語版にて解説する。注記すると、連続極限 (continuum limit) において (2) 式は次の運動方程式を与える。

\vec{S}_{t}=\vec{S}\wedge \vec{S}_{xx}.\quad (3)

この方程式は連続古典ハイゼンベルク強磁性体方程式 (continuous classical Heisenberg ferromagnet equation) あるいは短くハイゼンベルク模型と呼ばれており、ソリトンにおいて可積分である。ランダウ=リフシッツ方程式石森方程式英語版などのように、いくつかの可積分あるいは非可積分な一般化が可能である。

1次元[編集]

  • 長距離相互作用  J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha} の場合、 \alpha >1 であれば、熱力学極限は well defined である。 \alpha \ge 2 であれば、磁性は 0 のままである。しかし、 1< \alpha < 2 (赤外境界)であれば、充分低い温度で磁性は正となる。
  • 外場が 0 であれば、自由境界を持つ任意の「最も近い近傍」の n-ベクトルモデル(n-vector model)として、単純な厳密解が存在する。

2次元[編集]

  • 長距離相互作用  J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha} の場合、 \alpha >2 であれば、熱力学極点は well defined である。 \alpha \ge 4 であれば、磁性は 0 のままである。しかし、 2< \alpha <  4 (赤外境界)であれば、純分低い温度で磁性は正となる。
  • ポリヤコフは、古典XYモデルの反対として、任意の T>0 に対し双極フェーズ英語版(dipole phase)は存在しないと予想した。つまり、温度が零でないとき、相関函数は指数函数的に密集する[1]

3次元とそれ以上の次元[編集]

相互作用のレンジとは独立に、充分低い温度で、磁性は正となる。

低温の臨界状態では、相関函数が切り取られて、代数的になることが予想されている。

参考文献[編集]

  • 西森秀稔 『相転移・臨界現象の統計物理学』 培風館、2005年 

関連項目[編集]

外部リンク[編集]