古典ハイゼンベルク模型

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古典ハイゼンベルク模型: classical Heisenberg model, 古典ハイゼンベルクモデル)とは、統計力学に登場するモデル(模型)の一つで、強磁性やその他の現象を説明するために用いられる。nベクトル模型英語版n = 3 の場合に相当する。

このモデルは次のように定式化される。d 次元の格子を用意し、単位長を持つ3成分スピンベクトル

\vec{s}_i \in \mathbb{R}^3, |\vec{s}_i|=1\quad (1)

を各格子点に一つずつ配置する。

この系のハミルトニアンは次のように定義される。

\mathcal{H} = -\sum_{i,j} \mathcal{J}_{ij} \vec{s}_i \cdot \vec{s}_j\quad (2)

ここで係数

 \mathcal{J}_{ij} = \begin{cases} J & \mbox{if }i, j\mbox{ are neighbors} \\ 0 & \mbox{else.}\end{cases}

はスピン間の結合係数である。i 番目とj 番目のスピンが隣接していればJ 、そうでなければ 0 の値をとる。

ハイゼンベルク模型を記述・解明するための一般的な数学的表現や一般化については、ポッツ模型英語版にて解説する。注記すると、連続極限 (continuum limit) において (2) 式は次の運動方程式を与える。

\vec{S}_{t}=\vec{S}\wedge \vec{S}_{xx}.\quad (3)

この方程式は連続古典ハイゼンベルク強磁性体方程式 (continuous classical Heisenberg ferromagnet equation) あるいは短くハイゼンベルク模型と呼ばれており、ソリトンにおいて可積分英語版である。ランダウ=リフシッツ方程式英語版石森方程式英語版などのように、いくつかの可積分あるいは非可積分な一般化が可能である。

参考文献[編集]

  • 西森秀稔 『相転移・臨界現象の統計物理学』 培風館、2005年 

関連項目[編集]

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