反ド・ジッター空間

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数学物理学では、n次元の反ド・ジッター空間(はんどじったーくうかん、: Anti-de Sitter space, AdSn)とは最大の対称性を持ち、負の定スカラー曲率を持つローレンツ多様体である。反ド・ジッター空間とド・ジッター空間は、ライデン大学の天文学の教授で、ライデン天文台の天文台長であったウィレム・ド・ジッター (Willem de Sitter、1872–1934) の名前に因んでいる。ウィレム・ド・ジッターとアルベルト・アインシュタイン (Albert Einstein) は、1920年代にライデンで、宇宙の時空の構造について研究を共にした。

定曲率多様体は、正の定曲率の表面である、2次元の球体の表面の場合とほぼ同じである。平らな(ユークリッドの)平面は、零の定曲率の表面であり、双曲平面は負の定曲率の表面である。

アインシュタインの一般相対性理論は、時空間を対等な立場に置いているので、空間と時間をバラバラであるとみなす代わりに、統一された時空の幾何学とみなしている。定曲率の時空の事例は、ド・ジッター空間(正)とミンコフスキー空間(零)と反ド・ジッター空間(負)である。それ自体は、それらは、それぞれが正、零または負の宇宙定数空宇宙英語版におけるアインシュタイン方程式厳密解である。

反ド・ジッター空間はどんな次元の宇宙にも一般化する。より高次元では、AdS/CFT対応における役割として知られている。そして、AdS/CFT対応は、弦が1次元を追加した反ド・ジッター空間に存在している弦理論における、ある次元数(例えば4次元)における(電磁気学弱い力強い力のような)量子力学の力を記述することが可能だと示唆している。

専門的ではない説明[編集]

この専門的ではない説明では、この項目の入門資料で使われる用語を最初に定義します。それで、一般相対性理論のような時空間の基本的なアイデアを先に簡潔に配置します。それでド・ジッター空間が、宇宙定数に関連する(ミンコフスキー空間と呼ばれる)一般相対性理論の通常の時空間の明確な確率変数を記述する方法と、反ド・ジッター空間がド・ジッター空間とどのように違うのかを議論しています。また、ミンコフスキー空間、ド・ジッター空間と反ド・ジッター空間が、一般相対性理論に適用されるように、すべて平らな5次元の時空間に埋め込まれていると考えられうると説明します。最終的に、この専門的ではない説明が、数学の概念の詳細な説明をとらえ損なう、一般的な用語で記述するという、いくつかの警告を提供します。

翻訳された技術用語[編集]

極限まで対称のローレンツ多様体は、時間と空間が一方と何らかの点で区別しうる意味がない時空間である。そして(ローレンツのように)方向(または、時空間の1点での経路の接線)が区別されうる唯一の方法は、それが空間のようであるか、光のようであるか、時間のようであるかである。特殊相対性理論の空間(ミンコフスキー空間)が1つの事例である。

定スカラー曲率は、物質やエネルギーが存在していない時空間のどこでも同じである1つの数字で記述される曲率を持っている時空間における、一般相対性理論の重力のような屈折を意味している。

負の曲率は、鞍の表面またはガブリエルのラッパの表面のような、トランペットのベルの表面と似ている、大袈裟に曲がっているということを意味している。正の曲率を持っている、球体の表面の反対側にあるように記述されるかもしれない。

一般相対性理論における時空[編集]

一般相対性理論は、時間、空間そして重力の性質の理論である。重力は、物質とエネルギーの存在から引き起こされる、空間と時間の曲率である。(等式 E = mc2で表現されるように、)エネルギーと質量は等しく英語版、空間と時間は、(等式 E = mc2 のcである)光速に基づいて等価な単位に翻訳しうる。

一般的な類推は、重い物質をゴムの平らなシート上に置くことで生じる、そのシート上のくぼみが、近くを進んでいる小さい物質が載っている軌道に影響する、という観点を含んでいる。その小さい物質は、重い物質が存在していない時に従う軌道より、内側に逸れる現象を引き起こす。無論、一般相対性理論では、小さい物質と大きい物質の両方が相互に時空間の曲率に影響する。

物質によって生じる重力の引力は、時空間の負の曲率が原因であり、(トランペットのベルのような)そのシート上の負の曲線のくぼみによる、ゴムのシートの類推で表現される。

一般相対性理論の非常に重要な特徴は、電磁力学のような従来の力のようではなく、物質とエネルギーの存在によって生じる時空間の形状の変化のような、重力を記述するということである。

第3次元が重力の影響に対応している3次元の超空間英語版での一般相対性理論において、重力によって引き起こされる2次元空間の曲率を、上記で使用された類推が記述している。一般相対性理論について考察する幾何学的方法は、一般相対性理論での重力と重力のような影響によって生産される時空での曲率に対応している5次元空間で、5次元の超空間内に空間を投影することによって、幾何学的に現実世界の4次元空間での重力の影響を記述している。

結果として、一般相対性理論では、なじみのあるニュートンの重力の方程式 (すなわち、2つの物体の間の距離の2乗で割った質量の積の万有引力定数倍に等しい引力である。)は、一般相対性理論で見られる重力のような影響の近似値にすぎない。しかしながら、この近似値は、極端な物理的状況下で不正確になる。例えば、一般相対性理論では、運動中の物質は、静止している物質よりも、わずかに異なる引力となる。

なじみのあるニュートンの重力の方程式と一般相対性理論の間のいくつかの相違は、一般相対性理論の重力が、空間だけではなく時間と空間の両方を曲げるという事実から導かれる。普通の状況下では、ニュートンの重力と一般相対性理論の間の相違は、精密機器でのみ検出可能であるほどに、重力はわずかにしか時間を曲げない。

一般相対性理論におけるド・ジッター空間[編集]

ド・ジッター空間と区別される反ド・ジッター空間[編集]

5次元に組み込まれたと見なされるド・ジッター空間と反ド・ジッター空間[編集]

警告[編集]

定義と性質[編集]

時間的閉曲線と普遍被覆[編集]

対称性[編集]

パッチ座標[編集]

一様な対称空間[編集]

反ド・ジッター空間とその性質における単純な定義[編集]

グローバル座標[編集]

ポアンカレ座標[編集]

幾何学的性質[編集]

参考文献[編集]