双1次曲面

Bilinear surface

双1次曲面（そういちじきょくめん）とは、4つの制御点から作成される曲面である。CAD/CGでは形状の定義,FEMなどのシュミューレーションでは値の積分や補間などに使用される。

一般式1

曲面$S$は，$u$,$v$の2つのパラメータで定義される。曲面$S$上の点は，以下の式で表現される。

$S(u,v)=(1-u)(1-v)P_{0}+u(1-v)P_{1}+(1-u)vP_{3}+uvP_{2}$

パラメータ$u$,$v$の範囲は，以下の通り。定義した4点の面内の任意の場所は，このパラメータ定義域内で表現できる。

$0\leqq u\leqq 1,0\leqq v\leqq 1$

偏微分

$u$方向および$v$方向の偏微分は,以下の通り。

${\frac {\partial S}{\partial u}}=(v-1)P_{0}+(1-v)P_{1}+(-v)P_{2}+(v)P_{3}$

${\frac {\partial S}{\partial v}}=(u-1)P_{0}+(-u)P_{1}+(1-u)P_{2}+(u)P_{3}$

点の射影

Projecting point on a surface

任意の点$P$を双1次曲面上に射影するには,任意点$P$の曲面上の距離が最小になる点を選択する。一般に次式を2変数のニュートン法を使用して解き，双1次曲面上のu,vの値を得る。

$F(u,v)=|S(u,v)-P|^{2}$

${\frac {\partial F}{\partial u}}={\frac {\partial S}{\partial u}}\cdot {(S(u,v)-P)}=0$

${\frac {\partial F}{\partial v}}={\frac {\partial S}{\partial v}}\cdot {(S(u,v)-P)}=0$

一般式2

FEMなどのシュミューレーションでは，CADやCGとパラメータの定義域が異なることが多いが,一般式1と同じ結果が得られる。

$S(u,v)=N_{0}P_{0}+N_{1}P_{1}+N_{2}P_{2}+N_{3}P_{3}$

$N_{0}={1 \over 4}(1-u)(1-v)$

$N_{1}={1 \over 4}(1+u)(1-v)$

$N_{2}={1 \over 4}(1+u)(1+v)$

$N_{3}={1 \over 4}(1-u)(1+v)$

パラメータ$u$,$v$の範囲は，以下の通り。

$-1\leqq u\leqq 1,-1\leqq v\leqq 1$

偏微分

$u$方向および$v$方向の偏微分は,以下の通り。

${\frac {\partial N_{0}}{\partial u}}=-{1 \over 4}(1-v)$

${\frac {\partial N_{1}}{\partial u}}={1 \over 4}(1-v)$

${\frac {\partial N_{2}}{\partial u}}={1 \over 4}(1+v)$

${\frac {\partial N_{3}}{\partial u}}=-{1 \over 4}(1+v)$

${\frac {\partial N_{0}}{\partial v}}=-{1 \over 4}(1-u)$

${\frac {\partial N_{1}}{\partial v}}=-{1 \over 4}(1+u)$

${\frac {\partial N_{2}}{\partial v}}={1 \over 4}(1+u)$

${\frac {\partial N_{3}}{\partial v}}={1 \over 4}(1-u)$

外部リンク

• [1] 2変数のニュートン法.

関連項目

• 曲面