単純環

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数学環論において、(1≠0 を持つ可換とは限らない) R単純(たんじゅん、: simple)であるとは、R の両側イデアルが 0R しか存在しないことをいう[1]

構造定理[編集]

単純環は左アルティン的であれば右アルティン的でもあるため、このとき単にアルティン的単純環という[2]。(さらにネーター的でもある。)単純アルティン環は、アルティン・ウェダーバーンの定理により、可除環上の全行列環に同型である。

より詳しくは、次が成り立つ[3]。単純環 R について以下は同値:

  • R は左アルティン的
  • R半単純
  • R は極小左イデアルを持つ
  • R はある自然数 n とある可除環 D について Mn(D) と同型

R を一般の単純環とすると、任意の 0 でない左イデアル I に対し、D を自己準同型環 End(RI) (右から作用すると考える)とすると、R と End(ID) は自然に同型である(後者は左からの作用を考える)。

脚注[編集]

  1. ^ Lam 2001, p. 3.
  2. ^ Lam 2001, p. 37.
  3. ^ Lam 2001, Theorem 3.10.

参考文献[編集]