円周率の無理性の証明

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円周率の無理性の証明(えんしゅうりつのむりせいのしょうめい)は、円周率無理数であること、すなわち円周率の小数展開が無限に続き、しかも循環しないことの証明である。円周率が無理数であること自体はよく知られた事実であるが、その証明を目にする機会はあまりない[1]。知られている中で最も簡単な証明は、初等的な微分積分学のみを用いるものである。

歴史[編集]

円周率は古代から考察の対象とされ、無理数であることは紀元前4世紀アリストテレスが予想していたが、証明されたのは二千年以上後のことである。1761年ドイツの数学者ランベルトは、正接関数の無限連分数表示

を用いて、初めて円周率の無理性を示した[2]。その証明は現代的にはやや不満の残るものであったが、1794年フランスルジャンドルは厳密な証明を与え、さらに π2 も少なくとも無理数であることを発見した。したがってルジャンドルは π の無理性よりも強い結果を示した。

20世紀には、初等的な微分積分学の知識のみを用いた証明が発見された。そのうち最もよく知られたものは、カナダ出身のニーベン1947年に発表した証明[3]である。それ以前の1945年にも、イギリスメアリー・カートライト英語版が似た証明を与えている。彼女はそれを公表しなかったが、後にジェフリーズの著書に収録された[4]1949年日本岩本義和は、ニーベンのアイデアを用いて π2 が無理数であることの初等的な証明を与えた[5]

1978年、フランスのアペリーは全ての立方数逆数

が無理数であることを示した(アペリーの定理を参照)。この値は、リーマンゼータ関数

s = 3 における値 ζ(3) である。同様の手法で、彼は全ての平方数の逆数和

すなわち ζ(2) も無理数であることを示した。この極限 に等しい、という事実をすでにオイラーが示していたので(バーゼル問題を参照)、これはルジャンドルが示したことと同値である。すなわち、アペリーの証明は π2 が無理数であることの別証明になっている。

証明[編集]

本節では、ニーベンの証明を紹介する。原論文は必要最低限の記述しかないが、ここではいくらか解説を加えている。円周率 π は、正弦関数 sin x の正の零点の中で最小のものとする[6]。証明は背理法による。π は有理数である、すなわち、a, b整数)と表せると仮定して、矛盾を導く。

自然数 n に対して、関数 fn(x) を

で定義する。さらに、

とおく。ここで、f(k)fk微分を表す。

補題 1Fn(0) は整数である。

証明fn(x) の定義式を二項展開すると、

fn(k)(x) に x = 0 を代入することを考える。

k < n のときは、fn(k)(x) の各項は全て1次以上だから、fn(k)(0) = 0。

nk ≤ 2n のときは、x = 0 を代入する際に、1次以上の項は同様に 0 となるため、定数項のみが残り、

となる。

nk ≤ 2n より , a2nk, bkn は整数であるから、fn(k)(0) は整数である。

ゆえに、fn(k)(0) のである Fn(0) は整数である。

補題 2Fn(π) = Fn(0)

証明 より fn(πx) = fn(x) 、この両辺を k微分すると、連鎖律(合成関数の微分法則)より、

が(正確には数学的帰納法により)分かる。k = 0, 2, 4, …, 2n を代入して得られる式の総和を取ると、

を得る。x = 0 を代入すると、補題の式が得られる。

補題 3

証明:deg fn = 2n より fn(2n+2)(x) = 0、ゆえに、

これと、積の微分法、三角関数の微分の公式(微分法#性質参照)を用いると、

を得る。微分積分学の基本定理より、

となる。最後の等式では、π が正弦関数の零点であることを用いた。補題 2 より、これは 2Fn(0) に等しい。

結び: 0 < x < π の範囲では fn(x) > 0 かつ sin x > 0 である(π は正弦関数の正の零点のうち「最小の」ものであることに注意)。ゆえに、fn(x) sin x > 0, 補題 3 より Fn(0) > 0 である。次に、この Fn(0) を上から評価する。

より、

を得る。0 ≤ xπ で 0 ≤ sin x ≤ 1、補題 3 より、

ここで、自然数 n は任意である。一般に、 が成り立つ。したがって、十分大きな n に対して 0 < Fn(0) < 1 が成り立つ。これは補題 1 に矛盾する。(証明終)

Cartwright の証明[編集]

Mary Cartwright が1945年に提出した証明は、起源が不確かだが、知られている。

と置き、自然数 n に対し、

と置く。このとき、 は整数となる。また、十分大きな n に対し、 が言える。これらは矛盾する。

より進んだ結果と未解決問題[編集]

ルジャンドルは π2 は無理数であることを示したが、現在では、π冪乗は全て超越数であることが知られている。また、ドイツのリンデマンは、1882年π超越数であることを示した。これは、さらに一般的なリンデマンの定理[7]の特別な場合である。この定理は、円周率のみならず、ネイピア数 e2の自然対数 log 2、1 の正弦 sin 1 などが超越数であることを導く、非常に強力なものである。

この進んだ結果が知られているにもかかわらず、円周率の性質が十分判明したとはいえない。例えば、円周率が正規数であるか、すなわち小数展開が十分に「乱数的」であるといえるか、という問題は未解決である。また、πππ + e のような単純な定数が無理数であるかどうかも分かっていない。

脚注[編集]

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  1. ^ 小平邦彦は、晩年のエッセイの中で「最近初めて証明を読んだ」と記している(小平 p.79)。『数学セミナー』2004年12月号の特集「知っているようで知らない証明に再挑戦」で「π超越性」が取り上げられた。
  2. ^ 歴史については Beckmann 16章 を参照。証明については Hairer & Wanner 1.6節 を参照。ランベルトの原論文は Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques. Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin, année 1761/1768, 265-322 pdf ファイル
  3. ^ Ivan Niven, A simple proof that π is irrational, Bulletin of the American Mathematical Society, 53 (1947), 509. 論文の PDF ファイル
  4. ^ Jeffreys p.268
  5. ^ Aigner & Ziegler 6章。原論文は Y. Iwamoto, A proof that π2 is irrational, Journal of the Osaka Institute of Science and Technology 1 (1949), 147-148.
  6. ^ 初等教育においては、円周率の定義は「円周長の直径に対する比率」と学ぶ。この定義は初学者には受け入れ易いものの、現代数学の観点からは、曲線の長さの定義に依存しているという問題がある。そのため、現代数学においては、別の定義が採用されることが多い。円周率#定義も参照のこと。どの定義も結果的に同じ定数を定めることが従う。
  7. ^ 1885年ワイエルシュトラスが証明を簡潔にしたので、リンデマン-ワイエルシュトラスの定理とも呼ばれる。Beckmann 16章 を参照。定理の主張と証明については 塩川 2.7節 を参照。

参考文献[編集]

関連項目[編集]