円周率の無理性の証明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索

円周率の無理性の証明(えんしゅうりつのむりせいのしょうめい)は、円周率無理数であること、すなわち円周率の小数展開が無限に続き、しかも循環しないことの証明である。円周率が無理数であること自体はよく知られた事実であるが、その証明を目にする機会はあまりない[1]。知られている中で最も簡単な証明は、初等的な微分積分学のみを用いるものである。

歴史[編集]

円周率は古代から考察の対象とされ、無理数であることは紀元前4世紀アリストテレスが予想していたが、証明されたのは二千年以上後のことである。1761年ドイツの数学者ランベルトは、正接関数の無限連分数表示

\tan x=\cfrac{x}{1-\cfrac{x^2}{3-\cfrac{x^2}{5-\cfrac{x^2}{\ddots\,}}}}

を用いて、初めて円周率の無理性を示した[2]。その証明は現代的にはやや不満の残るものであったが、1794年フランスルジャンドルは厳密な証明を与え、さらに π2 も無理数であることを示した。これから π は無理数であるが、π は無理数から π2 は無理数とは言えない(√2 などの例がある)ため、ルジャンドルの結果は π の無理性よりも強い結果である。

20世紀には、初等的な微分積分学の知識のみを用いた証明が発見された。そのうち最もよく知られたものは、カナダ出身のニーベン1947年に発表した証明[3]である。それ以前の1945年にも、イギリスメアリー・カートライト英語版が似た証明を与えている。彼女はそれを公表しなかったが、後にジェフリーズの著書に収録された[4]1949年日本岩本義和は、ニーベンのアイデアを用いて π2 が無理数であることの初等的な証明を与えた[5]

1978年、フランスのアペリーは全ての立方数逆数

\frac{1}{1^3} +\frac{1}{2^3} +\frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} +\cdots

が無理数であることを示した(アペリーの定理を参照)。この値は、リーマンゼータ関数

\zeta (s)=\frac{1}{1^s} +\frac{1}{2^s} +\frac{1}{3^s} +\frac{1}{4^s} +\cdots

s = 3 における値 ζ(3) である。同様の手法で、彼は全ての平方数の逆数和

\frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\frac{1}{4^2} +\cdots

すなわち ζ(2) も無理数であることを示した。この極限\frac{\pi^2}{6} に等しい、という事実をすでにオイラーが示していたので(バーゼル問題を参照)、これはルジャンドルが示した事実と同値である。すなわち、アペリーの証明は π2 が無理数であることの別証明であると捉えられる。

二千年もの間得られなかった円周率の無理性が判明したのは、無限の概念を適切に扱うことができるようになった現代解析学の発展によるものといえる。

証明[編集]

本節では、ニーベンの証明を紹介する。原論文は必要最低限の記述しかないが、ここではいくらか解説を加えている。円周率 π は、正弦関数 sin x の正の零点の中で最小のものとする[6]。証明は背理法による。π は有理数である、すなわち、\pi =\frac{a}{b}a, b整数)と表せると仮定して、矛盾を導く。

自然数 n に対して、関数 fn(x) を

f_n (x)=\frac{1}{n!} x^n (a-bx)^n

で定義する。さらに、

F_n (x)=f_n (x)-f_n^{(2)} (x)+f_n^{(4)} (x)-\cdots +(-1)^n f_n^{(2n)} (x)

とおく。ここで、f(k)fk微分を表す。

補題 1Fn(0) は整数である。

証明fn(x) の定義式を二項展開すると、

f_n (x)=\frac{1}{n!} \left\{ a^n x^n -\binom{n}{1} a^{n-1} bx^{n+1} +\binom{n}{2} a^{n-2} b^2 x^{n+2} -\cdots +(-1)^n b^n x^{2n} \right\}

fn(k)(x) に x = 0 を代入することを考える。

k < n のときは、fn(k)(x) の各項は全て1次以上だから、fn(k)(0) = 0。

nk ≤ 2n のときは、x = 0 を代入する際に、1次以上の項は同様に 0 となるため、定数項のみが残り、

f_n^{(k)} (0)=\frac{1}{n!} \left\{ (-1)^{k-n} \binom{n}{k-n} a^{2n-k} b^{k-n} x^k \right\}^{(k)} =(-1)^{k-n} \frac{k!}{n!} \binom{n}{k-n} a^{2n-k}b^{k-n}

となる。

nk ≤ 2n より \frac{k!}{n!}, a2nk, bkn は整数であるから、fn(k)(0) は整数である。

ゆえに、fn(k)(0) のである Fn(0) は整数である。

補題 2Fn(π) = Fn(0)

証明\pi =\frac{a}{b} より fn(πx) = fn(x) 、この両辺を k微分すると、連鎖律(合成関数の微分法則)より、

(-1)^k f_n^{(k)}(\pi -x)=f_n^{(k)} (x)

が(正確には数学的帰納法により)分かる。k = 0, 2, 4, …, 2n を代入して得られる式の総和を取ると、

F_n (\pi -x)=F_n (x)

を得る。x = 0 を代入すると、補題の式が得られる。

補題 3\int_0^\pi f_n (x)\sin x\,dx=2F_n (0)

証明:deg fn = 2n より fn(2n+2)(x) = 0、ゆえに、

F''_n (x)+F_n (x)=f_n (x)

これと、積の微分法、三角関数の微分の公式(微分法#性質参照)を用いると、

(F'_n (x)\sin x-F_n (x)\cos x)'=f_n (x)\sin x

を得る。微分積分学の基本定理より、

\int_0^\pi f_n (x)\sin x\, dx=\bigg[ F'_n (x)\sin x-F_n (x)\cos x\bigg]_0^\pi =F_n (\pi )+F_n (0)

となる。最後の等式では、π が正弦関数の零点であることを用いた。補題 2 より、これは 2Fn(0) に等しい。

結び: 0 < x < π の範囲では fn(x) > 0 かつ sin x > 0 である(π は正弦関数の正の零点のうち「最小の」ものであることに注意)。ゆえに、fn(x) sin x > 0, 補題 3 より Fn(0) > 0 である。次に、この Fn(0) を上から評価する。

x(\pi -x)=-\left( x-\frac{\pi}{2} \right)^2 +\left( \frac{\pi}{2} \right)^2 \le \left( \frac{\pi}{2} \right)^2

より、

f_n (x)=\frac{b^n}{n!} \left\{ x(\pi -x) \right\}^n \le \frac{b^n}{n!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2n}

を得る。0 ≤ xπ で 0 ≤ sin x ≤ 1、補題 3 より、

F_n (0)=\frac{1}{2} \int_0^\pi f_n (x) \sin x\,dx \le \frac{1}{2} \int_0^\pi \frac{b^n}{n!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2n} \times 1\,dx=\frac{b^n}{n!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2n+1}

ここで、自然数 n は任意である。一般に、\lim_{n\to \infty} \frac{p^n}{n!} =0 が成り立つ。したがって、十分大きな n に対して 0 < Fn(0) < 1 が成り立つ。これは補題 1 に矛盾する。(証明終)

Cartwright の証明[編集]

Mary Cartwright が1945年に提出した証明は、起源が不確かだが、知られている。\frac{\pi}{2} =\frac{b}{a} と置き、自然数 n に対し、

I_n (x)=\int_{-1}^1 (1-z^2)^n \cos xz\,dz

と置こう。このとき、\frac{b^{2n+1}}{n!} I_n \left( \frac{\pi}{2} \right) は整数となる。また、十分大の n に対し、0<\frac{b^{2n+1} I_n \left( \frac{\pi}{2} \right)}{n!} <1 が言える。これらは矛盾する。

より進んだ結果と未解決問題[編集]

ルジャンドルは π2 は無理数であることを示したが、現在では、π冪乗は全て無理数であることが知られている。また、ドイツのリンデマンは、1882年π超越数であることを示した。これは、さらに一般のリンデマンの定理[7]の特別な場合である。この定理は、円周率のみならず、ネイピア数 e2の自然対数 log 2、1 の正弦 sin 1 などが超越数であることを導く、大変強力なものである。

この進んだ結果が知られているにもかかわらず、円周率の性質が十分判明したとはいえない。例えば、円周率が正規数であるか、すなわち小数展開が十分に「乱数的」であるといえるか、という問題は未解決である。また、πππ + e のような単純な定数が無理数であるかどうかも分かっていない。

脚注[編集]

[ヘルプ]
  1. ^ 小平邦彦は、晩年のエッセイの中で「最近初めて証明を読んだ」と記している(小平 p.79)。『数学セミナー』2004年12月号の特集「知っているようで知らない証明に再挑戦」で「π超越性」が取り上げられた。
  2. ^ 歴史については Beckmann 16章 を参照。証明については Hairer & Wanner 1.6節 を参照。ランベルトの原論文は Mémoires sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques. Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin, année 1761/1768, 265-322 pdf ファイル
  3. ^ Ivan Niven, A simple proof that π is irrational, Bulletin of the American Mathematical Society, 53 (1947), 509. 論文の PDF ファイル
  4. ^ Jeffreys p.268
  5. ^ Aigner & Ziegler 6章。原論文は Y. Iwamoto, A proof that π2 is irrational, Journal of the Osaka Institute of Science and Technology 1 (1949), 147-148.
  6. ^ 初等教育においては、円周率の定義は「円周長の直径に対する比率」と学ぶ。この定義は初学者には受け入れ易いものの、現代数学の観点からは、曲線の長さの定義に依存しているという問題がある。そのため、現代数学においては、別の定義が採用されることが多い。円周率#定義も参照のこと。どの定義も結果的に同じ定数を定めることが従う。
  7. ^ 1885年ワイエルシュトラスが証明を簡潔にしたので、リンデマン-ワイエルシュトラスの定理とも呼ばれる。Beckmann 16章 を参照。定理の主張と証明については 塩川 2.7節 を参照。

参考文献[編集]

関連項目[編集]