六点円

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動先: 案内検索
六点円

六点円(ろくてんえん)とは、三角形のそれぞれの頂点から下ろした垂線の足から他の2辺に下ろした合計6個の垂線の足を通るである。この6点が同一円周上にあるという定理を「六点円の定理」という。

1880年代にヘンリー・マーティン・テイラー(Henry Martin Taylor,1842-1927)がこの円に関する論文を発表したことから、欧米ではテイラー円という呼び方が一般的である。

証明[編集]

この円の存在の証明は中学校までに習う幾何学の知識で可能である。

上の図で、∠AA'B=∠AB'B より A,B,A',B' は同一円周上にある。よって∠CBA=∠CB'A' なので⊿CBA∽⊿CB'A'。同様に⊿CA'B'∽⊿CA2B1

⊿CA'H∽⊿CC2C', ⊿CB'H∽⊿CC1C' より、CA':CC2=CH:CC'=CB':CC1 よって⊿CA'B'∽⊿CC2C1

⊿CA2B1∽⊿CC2C1 なので∠CA2B1=∠CC2C1 であり、A2,B1,C1,C2 の4点は同一円周上にある。同様に、A1,B1,B2,C2 の4点も同一円周上にある。

⊿CBA∽⊿C'B'A∽⊿C1B2A より、CB と C1B2 は平行である。

⊿CBA∽⊿CB'A'∽⊿CC1C2,⊿CBA∽⊿C'BA'∽⊿B2BB1 より ∠CC2C1=∠B2B1B=∠B1B2C1 これより B1,B2,C1,C2 の4点も同一円周上にある。

以上により6点が同一円周上にあることが示された。

中心と半径[編集]

六点円の中心は、外心ルモワーヌ点らと同一直線上にある。

半径は、外接円の半径を R、3つの内角の大きさを α, β, γ とすると、

で表すことができる。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]