余代数

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余代数(よだいすう、英語: coalgebra)とは、単位元を持つ結合代数に対して、圏の双対をとったものをいう。

定義[編集]

上のベクトル空間とする。2つの線型写像 が存在して、これらが

  1. (余結合律)、
  2. (余単位律)

を満たすとき、即ち図式

Coalgebra.png

が可換であるとき、組 を余代数という。また、 を余積、 を余単位という。

諸概念[編集]

余代数射[編集]

-余代数とする。-線型写像

を満たすとき 余代数射(coalgebra morphism)という。これは以下の図式が可換であることと同値:

Coalgebra Morphism.png

部分余代数[編集]

を余代数、 とする。部分余代数であるとは、 を満たすことをいう。このとき、 は余代数の構造を持つ。

余イデアル[編集]

を余代数 部分ベクトル空間とする。余イデアル(coideal)であるとは

を満たすことをいう。このとき商 は余代数の構造を持つ。

余可換余代数と逆余代数[編集]

写像 で定める。余代数 余可換であるとは、 が成り立つことをいう。ここで新しい余積を によって定めると、 は余代数になりこれを逆余代数という。余代数が余可換であることと となることは同値である。

SweedlerのΣ-記法[編集]

を余代数とする。 とすると、余積は

と書ける。SweedlerのΣ-記法ではこれを

と表す。このとき、総和の記号は省かれる場合がある。この記法を用いると、余結合律と余単位律は以下のようになる:

(余結合律)
(余単位律)

[編集]

  • を空でない任意の集合、 の元を基底とした -ベクトル空間とする。任意の に対して余積と余単位を
で定めると、-余代数の構造を持つ。
  • -ベクトル空間、 をその基底とする。任意の に対して余積と余単位を
で定めると、-余代数の構造を持ち、これを devided power coalgebra という。
  • 次元 -ベクトル空間、 をその基底とする。余積と余単位を
によって定めると は余代数となっていて、これを matrix coalgebra という。
  • を局所有限半順序集合とする。 として の元全体を基底として持つ -ベクトル空間とする。任意の に対して余積と余単位を
で定めると は余代数となる。
  • -ベクトル空間とし、その基底を とする。余積と余単位を
で定めると は余代数となり、これを trigonometric coalgebra という。

K-代数とK-余代数の双対空間[編集]

-余代数、-代数、とする。ここで の積を、即ち任意の に対して

で定める。 が余結合的であることから積 は結合的であることがわかる。この積によって -代数となり、双対代数あるいは畳み込み代数という。単位は

で与えられる。また が余可換であることと、全ての可換な に対して が可換であることは同値である。

逆に代数が有限次元の場合、代数の双対として余代数が定義できる。 を有限 -次元代数とすると、準同型写像

が存在して となる。積と単位の双対

によって余積と余単位がそれぞれ定義され、余代数の構造が得られる。一般に が無限次元の場合には、このようにして余代数の構造を持つことはない。

参考文献[編集]

  • Tomasz Brzezinski; Robert Wisbauer (2003). Corings and Comodules. Cambridge University Press. 
  • Moss E. Sweedler (1969). Hopf algebras. Mathematics Lecture Note Series. W. A. Benjamin. 
  • Sorin Dăscălescu; Constantin Năstăsescu; Șerban Raianu (2001). Hopf Algebra: An Introduction. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. 235. Marcel-Dekker.