伴う素イデアル

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抽象代数学において, R 上の加群 M伴う素イデアル: associated prime)あるいは M素因子とは,M の(素)部分加群の零化イデアルとして生じる R素イデアルのタイプである.素因子全体の集合は通常 AssR(M) と書かれる.

可換環論において,素因子は可換ネーター環におけるイデアルの準素分解と結びついている.具体的には,イデアル J準素イデアルの有限交叉として分解されているとき,これらの準素イデアルの根基素イデアルであり,素イデアルたちのこの集合は AssR(R/J) と一致する[1].またイデアルの「素因子」の概念と結びついているのは,孤立素因子 (isolated prime) と非孤立あるいは埋め込まれた素因子 (embedded prime) の概念である.

定義[編集]

零でない R 加群 Nprime module であるとは,N の任意の非零部分加群 N′ に対して零化イデアル となることである.prime module N に対し,R の素イデアルである[2]

R 加群 M伴う素イデアル (associated prime) とは,NM の prime submodule として AnnR(N) の形のイデアルのことである.可換環論における通常の定義は異なるが同値である[3]R が可換であるとき,M に伴う素イデアル P とは,M の非零元 m に対して の形の素イデアル,あるいは同じことであるが,R/PM のある部分加群に同型な素イデアルのことである.

可換環 R において,AssR(M) における(集合論的包含に関する)極小元は孤立素因子 (isolated prime) と呼ばれ,残りの素因子(すなわちある素因子を真に含むもの)は非孤立素因子 (embedded prime) と呼ばれる.

加群が coprimary であるとは,ある 0 ≠ mM に対して xm = 0 ならばある正の整数 n に対して xnM = 0 となることをいう.可換ネーター環上の零でない有限生成加群 M が coprimary であることとちょうど1つの素因子を持つことは同値である.M の部分加群 NP-primary とは,M/NP で coprimary なことをいう.イデアル IP-準素イデアルであることと AssR(R/I) = {P} は同値である;したがって概念は準素イデアルの一般化である.

性質[編集]

これらの性質や主張のほとんどは (Lam 2001) の86ページ以降に与えられている.

  • M′M ならば,AssR(M′) ⊆ AssR(M) である.さらに M′M本質部分加群ならば,それらの素因子は一致する.
  • 可換局所環に対してさえ,有限生成加群の素因子の集合が空であることはあり得る.しかしながら,イデアルについての昇鎖条件を満たす任意の環(例えば右あるいは左ネーター環)において,すべての非零加群は少なくとも一つの素因子を持つ.
  • 任意の一様加群は 0 個か 1 個の素因子を持ち,一様加群は coprimary module の例である.
  • 片側ネーター環に対して,直既約移入加群の同型類の集合からスペクトル Spec(R) の上への全射がある.Rアルティン環ならばこの写像は全単射になる.
  • Matlis' Theorem: 可換ネーター環 R に対して,直既約移入加群の同型類からスペクトルへの写像は全単射である.さらに,それらの類の完全代表系は で与えられる,ただし E(–)移入包絡であり,R の素イデアル全体を渡る.
  • 任意の環上のネーター加群 M に対して,M の素因子は有限個しか存在しない.

以下の性質は全て可換ネーター環 R に対するものである:

  • すべてのイデアル J は(準素分解を通して)準素イデアルの有限交叉として表せる.これらのイデアルのそれぞれの根基は素イデアルであり,これらの素イデアルはちょうど AssR(R/J) の元たちである.とくに,イデアル J準素イデアルであることと AssR(R/J) がちょうど1つの元を持つことは同値である.
  • イデアル J を含む任意の極小素イデアル英語版AssR(R/J) に入る.これらの素イデアルはちょうど孤立素因子である.
  • M の素因子の集合論的和はちょうど M零因子,つまり,mr = 0 となるある 0 ≠ mM が存在するような元 r, の全体の集合である.
  • MR 上の有限生成加群ならば,部分加群の有限昇鎖列
であって各商 Mi/Mi−1 がある素イデアル Pi に対して R/Pi に同型であるようなものが存在する.さらに,M のすべての素因子は素イデアル Pi の集合に現れる.(一般にはすべての素イデアル PiM の素因子であるわけではない.)
  • SR の積閉集合とし,f: Spec(S−1R) → Spec(R) を自然な写像とする.このとき,R 上の加群 M に対して,
    .[4]
  • R 上の加群 M に対して,Ass(M) ⊆ Supp(M) である.さらに,Supp(M) の極小元の集合は Ass(M) の極小元の集合と一致する.とくに,Ass(M) が極大イデアルからなるとき,等号が成り立つ.
  • R 上の加群 M長さ有限であることと M が有限生成かつ Ass(M) が極大イデアルからなることは同値である[5]

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  • R が有理整数環ならば,非自明な自由アーベル群と素冪位数の非自明なアーベル群は coprimary である.
  • R が有理整数環で M が有限アーベル群ならば,M の素因子はちょうど M の位数を割り切る素数である.
  • 位数 2 の群は有理整数 Z(自身の上の自由加群と考えて)の商であるが,その素因子 (2)Z の素因子ではない.

脚注[編集]

  1. ^ Lam 1999, p. 117, Ex 40B.
  2. ^ Lam 1999, p. 85.
  3. ^ Lam 1999, p. 86.
  4. ^ Matsumura 1970, 7.C Lemma
  5. ^ Cohn, P. M. (2003), Basic Algebra, Springer, Exercise 10.9.7, p. 391, ISBN 9780857294289, https://books.google.com/books?id=bOElBQAAQBAJ&pg=PA391 .

参考文献[編集]