代数拡大

代数拡大（だいすうかくだい、英: algebraic extension）とは、体の拡大 $L/K$ であって、拡大体 $L$ のすべての元が基礎体 $K$ 上代数的であるものをいう。すなわち、任意の $\alpha \in L$ に対して、$K$ 係数の零でない多項式 $f(x)$ が存在して $f(\alpha )=0$ を満たすとき、$L/K$ は代数拡大である。

定義

体拡大 $L/K$ において、$\alpha \in L$ が $K$ 上代数的であるとは、$K[x]$ のある非零多項式の根であることをいう。拡大体 $L$ のすべての元が $K$ 上代数的であるとき、$L/K$ を代数拡大という。これに対して、代数的でない元を含む拡大は超越拡大と呼ばれる。

例

もっとも基本的な例は

$\mathbf {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbf {Q}$

である。ここで ${\sqrt {2}}$ は多項式 $x^{2}-2$ の根であるから、${\sqrt {2}}$ は 有理数体 $\mathbf {Q}$ 上代数的であり、この拡大は代数拡大である。

また、複素数体 $\mathbf {C}$ は実数体 $\mathbf {R}$ の代数拡大である。実際、任意の複素数は $a+bi$ の形に書け、特に $i$ は $x^{2}+1$ の根である。

一方、$\mathbf {Q} (t)/\mathbf {Q}$（$t$ を不定元とする有理函数体）は代数拡大ではない。$t$ は $\mathbf {Q}$ 上代数的でなく、超越的であるためである。

基本性質

有限拡大は常に代数拡大である。より正確には、$[L:K]<\infty$ ならば、任意の $\alpha \in L$ に対して単拡大 $K(\alpha )$ は $K$ 上有限次元であり、したがって $\alpha$ は $K$ 上代数的である。

逆に、拡大 $E/k$ が代数的であることと、任意の $\alpha \in E$ に対して単拡大 $k(\alpha )/k$ が有限であることは同値である。単拡大の場合、その次数は $\alpha$ の最小多項式の次数に等しい。

代数拡大の合成や塔も再び代数拡大になる。すなわち、

$K\subset E\subset L$

において $E/K$ および $L/E$ がともに代数拡大ならば、$L/K$ も代数拡大である。

有限拡大との関係

代数拡大は必ずしも有限拡大とは限らない。たとえば、ある体の代数的閉包は一般にその体の代数拡大であるが、通常は有限次ではない。したがって

• 有限拡大 ⇒ 代数拡大
• 代数拡大 ⇏ 有限拡大

である。

代数的閉包との関係

体 $K$ の代数的閉包とは、$K$ の代数拡大であって代数的閉体となるものをいう。すべての体は代数的閉包を持ち、それは $K$-同型を除いて一意である。したがって、代数拡大の概念は代数的閉体やガロア理論の基礎をなす。

超越拡大との対比

代数拡大が「多項式方程式の根として得られる元だけを加えた拡大」であるのに対し、超越拡大は代数的でない元を含む。たとえば、不定元 $t$ を添加した有理函数体 $K(t)$ は典型的な超越拡大である。体論では、一般の拡大を代数的部分と超越的部分に分けて理解することが多い。

参考文献

• “Algebraic Extension”. Wolfram MathWorld. 2026年3月6日閲覧。
• “Section 9.8: Algebraic extensions”. The Stacks Project. 2026年3月6日閲覧。
• “Definition 9.28.1”. The Stacks Project. 2026年3月6日閲覧。
• “Chapter 9: Fields”. The Stacks Project. 2026年3月6日閲覧。
• “Section 9.6: Field extensions”. The Stacks Project. 2026年3月6日閲覧。

関連項目

• 体の拡大
• 単拡大
• 分離拡大
• 正規拡大
• ガロア拡大
• 代数的閉包
• 代数的閉体
• 超越拡大
• 最小多項式