中線

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三角形の中線と重心

幾何学において三角形中線(ちゅうせん)とは、三角形の頂点と対中点を結んだ直線である。1つの三角形に中線は3本存在する。

3本の中線はその三角形の重心で交わる。重心は中線を2:1の比に分ける。

中線は、三角形を等しい面積に分割する。中線以外の三角形を同じ面積に分ける直線は重心を通らない。

中線定理[編集]

三角形 ABC の3辺 BC,CA,AB の長さをそれぞれ a,b,c とし、頂点AとBCの中点を結ぶ中線の長さを m とすると

4m2+a2=2(b2+c2)

これをパップスの中線定理という。この式を変形すると、

m = \sqrt {\frac{2 b^2 + 2 c^2 - a^2}{4} }

となり、3辺の長さから中線の長さを求めることができる。

中線定理の一般化として、BCの中点ではなくBCを内分する任意の点とAを結ぶ線について同様の関係式を述べたスチュワートの定理が知られている。

関連項目[編集]