レンズの公式

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レンズの公式(レンズのこうしき)は幾何光学における公式であり、

  • 物面から主点までの距離 A
  • 主点から像面までの距離 B
  • 焦点距離 F (主点と焦点の距離)

の関係が理想的にはと表されるというものである。ただし、焦点距離 F は凹レンズなどの発散系では負とし、像面までの距離 B は虚像では負とする。物が無限遠にある場合は左辺第1項を0、像が無限遠方の虚像である場合は左辺第2項を0として成立する。

この公式は単レンズだけでなく凹面鏡・凸面鏡や、複数のレンズ・鏡を組み合わせた光学系にも(主点・焦点が定義できるならば)適用できる。

レンズメーカーの公式[編集]

空気中にある単レンズの焦点距離は以下の式から計算できる。

はレンズの屈折率。
はレンズ第1面の曲率半径
はレンズ第2面の曲率半径。
はレンズの厚さ。

この式はレンズメーカーの公式と呼ばれる。曲率半径は、曲率中心が光源から遠い方にある場合を正とする。

証明[編集]

以下の説明図ではレンズの中で光が曲がっているが、実際にはレンズに光が入るときと出るときの2回、屈折する。 また、式中の記号はすべて図中の点または長さをさす。

凸レンズに関する証明[編集]

焦点の外側に物体がある場合[編集]

凸レンズの焦点より外側に物体を置くと、物体に対して反対側に倒立の実像ができる。

(証明)

が相似であることより

と言え、また が相似であることより

と言える。 であるから

となり、これを で割ると

(証明終わり)

焦点の内側に物体がある場合[編集]

凸レンズの焦点より内側に物体を置くと、物体と同じ側に正立の虚像ができる。

(証明)

が相似であることより、

と言え、また (注を参照のこと) が相似であることより、

と言える。 であるから、

となり、これを で割ると、

像が虚像であるため B を負の数で表し B' = -B とおくと、上式は

となる。

(証明終わり) (注)図中には、fが2点あるが、右側のfをさす。

凹レンズに関する証明[編集]

凹レンズでは物体と同じ側に正立の虚像ができる。

(証明)

が相似であることより、

と言え、また が相似であることより、

と言える。ところで、 であるから、

となり、これを で割ると、

凹レンズによる虚像であるため B, F を負の数で表し F' = -F; B' = -B とおくと、上式は

となる。

(証明終わり)

関連項目[編集]