レイリーの定理

レイリーの定理は、1より大きい無理数が、床関数を用いて自然数の集合を2つに分ける方法を与える定理である。 得られた集合を小さい順に並べたものをビーティ数列と呼ぶため、ビーティの定理と呼ばれることもある。

概要

${1 \over r}+{1 \over s}=1$を満たす無理数rとsに対して、その倍数の整数部分である$B_{r}=\{\lfloor nr\rfloor \,|\,n\in \mathbb {N} \}$と$B_{s}=\{\lfloor ns\rfloor \,|\,n\in \mathbb {N} \}$は自然数の集合の分割である。つまり、任意の自然数は、$B_{r}$と$B_{s}$のどちらかに一方にのみ常に属する。

例

正の無理数$r={\sqrt {2}}$とし、${1 \over r}+{1 \over s}=1$を満たすように$s=2+{\sqrt {2}}$とする。このとき、B_rとB_sを小さい順に並べると、以下の表のようになる。

自然数の分割例

Br	1	2	4	5	7	8	9	11	12	14	15	16	18	19	21	22	24	25	26	28	...
Bs	3	6	10	13	17	20	23	27	30	34	37	40	44	47	51	54	58	61	64	68	...

証明

証明1

$1<r$、$s={r \over r-1}$とする。まず、自然数jとkを用い、jrとksに注目して、両方の集合に属する自然数が存在しないことを背理法を用いて証明する。もしも両方の集合に属する自然数が存在する場合、あるjとkについて、jr=ksが成立する。両辺をkrで割ると、j/k=r/sであり、左辺はjとkが自然数であるため明らかに有理数である。一方、右辺のr/sは${r \over s}={r \over {r \over r-1}}=r-1$であり、rは無理数であるためr-1も無理数となる。よって矛盾が生じるため、両方の集合に属する自然数は存在しない。

次に、j/rまたはk/sで表現可能な数を小さい順に並べた数列を考える。1/rからj/rのj個の無理数が存在し、j/r以下のk/sが$\left\lfloor {js \over r}\right\rfloor$個存在する。そのため、数列内のj/rの位置はj+$\left\lfloor {js \over r}\right\rfloor$であり、 ${1 \over r}+{1 \over s}=1$より

$j+\lfloor js/r\rfloor =j+\lfloor j(s-1)\rfloor =\lfloor js\rfloor$

である。 同様に、k/sは$\lfloor kr\rfloor$番目に位置する。 $\lfloor nr\rfloor$でも$\lfloor ns\rfloor$でも表せない正の整数cがあると仮定すると、j/rまたはk/sで表現可能な数のc番目の要素が数列の中の$\lfloor js\rfloor$または$\lfloor kr\rfloor$番目に位置することと矛盾するため、正の整数は必ずどちらか一方には含まれる。

したがって、全ての正の整数は、$B_{r}$または$B_{s}$のどちらかに含まれ、両方に含まれることはない。 また逆も成り立ち、2つの実数rとsについて同様の処理によって2つの集合を考えた時、全ての正の整数がどちらか一方にのみ含まれているならば、rとsは無理数であり、逆数の和は1である。

証明2

背理法を用いる。ある正の整数jが$B_{r}$と$B_{s}$の両方に含まれるとする。つまり、2つの整数kとmが存在し、

$j=\left\lfloor {kr}\right\rfloor =\left\lfloor {ms}\right\rfloor$

を満たすとする。ここで、床関数の定義により、

$j\leq kr<j+1$

$j\leq ms<j+1$

である。非ゼロのjに対して、rとsは無理数であるため、等号は成り立たず、

$j<kr<j+1$

$j<ms<j+1$

である。各式をrとsで割ることにより、

${j \over r}<k<{j+1 \over r}$

${j \over s}<m<{j+1 \over s}$

を得る。この2式を加えると、

$j<k+m<j+1$

となるが、kとmは整数であるため、k+mも整数となり、矛盾が生じる。したがって、$B_{r}$と$B_{s}$の両方の集合に含まれる正の整数は存在しない。

次に、どちらの集合にも含まれないjを仮定すると、

$kr<j<j+1\leq (k+1)r$

$ms<j<j+1\leq (m+1)s$

が成立する。j+1は非ゼロであり、rとsは無理数であるため、等号は成り立たず、

$kr<j<j+1<(k+1)r$

$ms<j<j+1<(m+1)s$

である。したがって、

$k<{j \over r}<{j+1 \over r}<k+1$

$m<{j \over s}<{j+1 \over s}<m+1$

を得る。この2式を加えると、

$k+m<j<j+1<k+m+2$

となり、矛盾する（そのようなkとmは存在しない） よって、全ての正の整数はどちらかの集合に含まれる。

したがって、全ての正の整数は、$B_{r}$または$B_{s}$のどちらかに含まれ、両方に含まれることはない。

関連項目

• ビーティ数列