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数学において、アーベル多様体 やモジュラー形式 の理論におけるリーマン形式 (リーマンけいしき、Riemann form) とは、以下のデータからなる。
複素ベクトル空間 C g の格子
Λ
{\displaystyle \Lambda }
Λ
{\displaystyle \Lambda }
整数 への交代的双線型形式
α
{\displaystyle \alpha }
リーマンの双線型関係式 (Riemann bilinear relations)を満たすもの。
α
{\displaystyle \alpha }
α
R
:
C
g
×
C
g
→
R
{\displaystyle \alpha _{\mathbb {R} }\colon \mathbb {C} ^{g}\times \mathbb {C} ^{g}\rightarrow \mathbb {R} }
C
g
×
C
g
{\displaystyle \mathbb {C} ^{g}\times \mathbb {C} ^{g}}
(
v
,
w
)
{\displaystyle (v,w)}
α
R
(
i
v
,
i
w
)
=
α
R
(
v
,
w
)
{\displaystyle \alpha _{\mathbb {R} }(iv,iw)=\alpha _{\mathbb {R} }(v,w)}
付随するエルミート形式
H
(
v
,
w
)
=
α
R
(
i
v
,
w
)
+
i
α
R
(
v
,
w
)
{\displaystyle H(v,w)=\alpha _{\mathbb {R} }(iv,w)+i\alpha _{\mathbb {R} }(v,w)}
正定値 である。 （ここに記述したエルミート形式は、第一変数について線型である。）
リーマン形式は、次の理由により重要である。
任意の保型因子 のチャーン類 の交代化 （英語版 ）
逆に、任意のリーマン形式が与えられると、保型因子であって、そのチャーン類の交代化が与えられたリーマン形式であるようなものを構成できる。 Milne, James (1998), Abelian Varieties , http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/av.html 2008年1月15日閲覧。 Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine Geometry, An Introduction , Graduate Texts in Mathematics, 201 , New York, ISBN 0-387-98981-1 , MR 1745599 Mumford, David (1970), Abelian Varieties , Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, 5 , London: Oxford University Press , MR 0282985 “Abelian function” , Encyclopedia of Mathematics EMS Press , 2001 [1994]“Theta-function” , Encyclopedia of Mathematics EMS Press , 2001 [1994]
