ヤング図形

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数学において、ヤング盤(-ばん、英:Young tableau) および ヤング図形(-ずけい、英:Young diagram)とは、表現論で使われる組合せ論的図式である。 これは、対称群の群表現を記述しその性質を調べるのに便利である。

ヤング盤は、ケンブリッジ大学の英国人牧師・数学者アルフレッド・ヤング(Alfred Young、1873~1940) により 1900 年に導入された。 その理論は、アルフレッド・ヤング自身およびアラン・ラスクー(Alain Lascoux)、パーシー・マクマホン(Percy Alexander MacMahon)、ギルバート・ロビンソン(Gilbert de Beauregard Robinson)、ジァン・カルロ・ロータ(Gian-Carlo Rota)、マルセル・ポール・シュッツェンベルジェ(Marcel-Paul Schützenberger)、リチャード・スタンレー(Richard P. Stanley)その他の数学者により、更に発展した。

定義[編集]

ヤング図形[編集]

分割 10 = 5 + 4 + 1 のヤング図形

ヤング図形(フェラーズ図形(-ずけい、英:Ferrers diagram)ともいう)は、数 n分割(英:partition)を表現する方法である。 n を正整数とする。 分割とは、n を幾つかの正整数の和として

n = k1 + k2 + … + km
k1k2 ≧ … ≧ km

と表すことである。 この分割は、最初の行は k1 個の箱を有し、二番目の行はk2 個の箱を有し、…と続く m 行のヤング図形により、表現できる。 ここで、各行は、左寄せにする。

この分割を k = (k1, k2, …, km) とする。 このとき、k に共軛な分割(英:partition conjugate to k)とは、各列の箱の数からなる n の分割のことをいう。 つまり、各ヤング図形に対し、対角線に沿って縦横を反転した共軛ヤング図形が存在する。

右上図は、分割 10 = 5 + 4 + 1 に対応するヤング図形である。 この共軛分割は、 10 = 3 + 2 + 2 + 2 + 1 である。

ヤング盤[編集]

分割 10=5+4+1 のヤング盤の一つ

ヤング盤は、ヤング図形を一つ取り、同図形の n 個の箱に 1, 2, …, n の数を、以下の制約に基づいて埋めることによって得られる。

  • 各行で、数は左から右に増加する。
  • 各列で、数は上から下に増加する。

各数が一つの箱に必ず一回きり現れるとき、その盤を標準盤(英:standard tableau)という。 右上図は、分割 10 = 5 + 4 + 1 に対応する標準盤の一つである。

半標準盤(英:semi-standard tableaux)は、この変種であって、ある数が複数個の箱に現れ得るものである。 半標準盤では、上の最初の制約が、以下のように弱められる。

  • 各行で、数は左から右に非減少である。

半標準盤は、1, 2, …, t のどの数も持ち得る。 ここで一般に、t は特定されている。 この集合 1, 2, …, t から全ての数が半標準盤に現れる必要はなく、 またある数は複数回現れても良い。 数は列の中では増加しなければならないので、 半標準盤が存在するためには、tm が必要である。

表現論における応用[編集]

ヤング図形は、対称群の複素数体上の既約表現と一対一対応を有する。 これは、既約表現を構成するヤング対称子(英:Young symmetriser)を特定するのに便利である。 対応するヤング図形から、表現に関する多くの事実を推論することができる。 以下に、表現の次元を決定する例と、表現の制限の例の二つを記述する。 両方の例において、そのヤング図形を使うだけで、表現のある性質を決定できることを見る。

表現の次元[編集]

分割 10=5+4+1 に対応する各箱のフック長

分割 λ に対応する既約表現 πλ の次元は、その表現のヤング図形から得られる異なるヤング盤の数に等しい。 この数は、フック長の公式から計算できる。

ヤング図形 λ の中のある箱 x のフック長(英:hook length) hook(x) とは、同一行の右にある箱の数と同一列の下にある箱の数の和に 1 (その箱自身)を加えた数である。 フック長の公式によると、既約表現 πλ の次元は、n! を、同表現のヤング図形の全箱のフック長の積で割った数に等しい。

{\rm dim} \, \pi_\lambda = \frac{n!}{\prod_{x \in \lambda} {\rm hook}(x)}

右上図では、分割 10 = 5 + 4 + 1 に対応するヤング図形の全箱のフック長を、各箱内に記している。 これにより、

{\rm dim} \, \pi_\lambda = \frac{10!}{1\cdot1\cdot 1 \cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 5\cdot7} = 288

である。

表現の制限と誘導表現[編集]

n − 1 個の要素の対称群 Sn−1は自然にn 個の要素の対称群 Sn の部分群とみなすことができる.このことから,任意のn次対称群 Snの表現Vは, n − 1 次対称群 Sn−1 の表現と見なせる.これを表現Vの制限(restriction)という.一般に既約な表現の制限は,既約になるとは限らない.そこでSn の既約表現に対応するヤング図形が与えられたとき、その制限の直和成分として現れる既約表現に対応するヤング図形を決定することが問題となる.

その答えは,Sn の表現のヤング図形から一つ箱を取り除き,その結果が依然として正しいヤング図形になる場合のヤング図形に対応するものに一致する.

他方,Sn の部分群Sn−1の表現WSn の表現に“持ち上げる”ことができる.これを誘導表現(英:induced representation)と呼ぶ.一般に,既約表現の誘導表現は既約になるとは限らないため,Sn-1 の既約表現に対応するヤング図形が与えられたとき、その誘導表現の直和成分として現れる既約表現に対応するヤング図形を決定することが問題となる.

その答えは,Sn-1 の表現のヤング図形に一つ箱を追加し,その結果が依然として正しいヤング図形になる場合のヤング図形に対応するものに一致する.

表現の構築[編集]

ヤング盤は、対称群の任意のの上の表現を構築し、その構造を研究することにも使用できる。 一般的に、これらの表現は既約でない。

関連項目[編集]