モノイド対象

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圏論において、モノイド対象(モノイドたいしょう、: monoid object(M, μ, η) は、モノイド圏 (C, ⊗, I) が与えられたとき、C の対象 M および二つの(乗法: μ: MMM および単位射: η: IM の組を言う。ただし二つの射はそれぞれ、五角形図式

積の結合律

および単位子図式

単位律

を可換にするものでなければならない。上記の図式に現れる記号について、I はモノイド圏 C に対する(自然同型を除く)単位元であり、三つの射 α, λ, ρ はそれぞれ C における(自然同型を除く)結合律、左単位律、右単位律を与える射である。

モノイド圏 C におけるモノイド対象のことを、単にその圏の(内部)モノイドとも呼ぶ。これと双対的に、モノイド圏 C余モノイド対象 (comonoid) は双対圏 Cop のモノイド対象を言う。

モノイド圏 C対称英語版(すなわち、自然同型を除く対称律を定める射 γ を持つ)ならば、C のモノイド対象 M可換 (commutative) とは μγ = μ となることを言う。

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モノイド対象の圏[編集]

モノイド圏 C の二つのモノイド対象 (M, μ, η)(M′, μ′, η′) に対し、射 f: MM′モノイド対象の射 (morphism of monoids) あるいはモノイド射 (monoid morphism) であるとは fμ = μ′ ∘(ff) および fη = η′ を満たすときに言う。すなわち以下の図式

Category monoids mu.svg および Category monoids eta.svg

が可換となる。

C における全てのモノイド対象とそれらの間の全てのモノイド射の成す圏をMonC などと書く[1]。この書き方で通常のモノイドの圏Mon = MonSet と書ける。

関連項目[編集]

  • Act-S英語版: 集合へのモノイド作用 (action on set) の圏

参考文献[編集]

  1. ^ Section VII.3 in Mac Lane, Saunders (1988). Categories for the working mathematician (4th corr. print. ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90035-7 
  • Mati Kilp, Ulrich Knauer, Alexander V. Mikhalov, Monoids, Acts and Categories (2000), Walter de Gruyter, Berlin ISBN 3-11-015248-7

外部リンク[編集]