マクスウェル・ベティの相反作用の定理

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マクスウェル・ベティの相互作用の定理(まくすうぇる・べてぃのそうごさようのていり、英語: Maxwell-Betti reciprocal work theorem)とは、構造力学における弾性体の定理である。1872年エンリコ・ベッチによって発見された[1]

証明[編集]

弾性体上の任意の2点を選び、各点をA, Bとする。ここで、点Aに力PAを作用させたとき、対象物は弾性体であるため、点Aには変位kAA×PAが生じ、点Bには変位kAB×PAが生じる。同様に、点Bに力PBを作用させたとき、点Aには変位kBA×PBが生じ、点Bには変位kBB×PBが生じる。

このとき、2通りの手順で力PAPBを作用させることを考える。

1.PAを作用させた後、PBを作用させる。

このとき、弾性体に蓄えられる内部エネルギーE1は、

E1=PA×PA×kAA/2+PB×PB×kBB/2+PA×PB×kBA

2.PAPBを同時に作用させる。

このとき、弾性体に蓄えられる内部エネルギーE2は、

E2=PA/2×(PA×kAA+PB×kBA)+PB/2×(PA×kAB+PB×kBB)

ここで、弾性体に蓄えられるエネルギーは経路によらないためE1=E2が成り立つ。

すなわち、

PA×PA×kAA/2+PB×PB×kBB/2+PA×PB×kBA=PA/2×(PA×kAA+PB×kBA)+PB/2×(PA×kAB+PB×kBB)

PA×PB×kBA=PA×PB×kBA/2+PB×PA×kAB/2

PA×PB×kBA/2=PB×PA×kAB/2

よって、kBA=kAB

これを一般化したものがマクスウェル・ベルティの相互作用の定理である。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • 建築構造力学 図説・演習II - 著:石田修三、松永裕之、中村恒善、須賀好富、永井興史郎、編集:丸善 ISBN 978-4621039663

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  1. ^ なお、名前のもうひとつのほうの「マクスウェル」は、電磁方程式などでも有名なジェームズ・クラーク・マクスウェルに由来する。