ブルン定数

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ブルン定数 (Brun's constant) は数学定数の一つで B2 と表記されることが多い。この数は、双子素数逆数の和の極限として定義される。すなわち、

である。素数の逆数和が(無限大に)発散することはオイラーにより知られていたが、双子素数についてはヴィーゴ・ブルン1919年にこの級数は収束することを示した。そのため、双子素数は無数に存在するかどうかは引き続き未解決である。また、この極限が無理数であるか有理数であるかも未解決である(もし無理数ならば双子素数は無数に存在すると分かる)。

Thomas R. Nicely は 1014 以下の双子素数までの部分和を計算し、B2 は約 1.902160578 だと推計した。なお、その過程で彼は有名な Pentium FDIV バグを発見した。2002年に Pascal Sebah と Patrick Demichel の2人によって 1016 までの部分和が計算され、

B2 = 1.902160583104…

である。

また、同様の数が四つ子素数についても定義される。これは四つ子素数に対するブルン数と呼ばれ、しばしば B4 と表記される。四つ子素数とは値が 4 離れた2つの双子素数の組で、小さい方から (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109) となる。すなわち B4 は次の式で与えられる。

この値はおよそ

B4 = 0.87058 83800 ± 0.00000 00005

と推計されている。